Question

Найдите точки максимума и точки минимума функции у=-x^4+4x

Answer 1

Ответ:

Дано: y = -x⁴ + 4*x

Пошаговое объяснение:

Экстремумы находятся в корнях первой производной.

Y'(x) = -4*x³ + 4 = -4*(x³-1) - 0,

x³ = - 1,   x = - 1 точка экстремума.

Максимум: Y(-1) = -1 + 4 = 3 - ответ.

Минимума - нет.

Рисунок с графиком функции в приложении.

Answer 2

Для нахождения точек максимума и минимума функции у = -x^4 + 4x, нужно проанализировать её производные и использовать теорему о стационарных точках.

Шаг 1: Найдем производную функции у по переменной х. у' = d/dx(-x^4 + 4x)

Для этого применим правило дифференцирования степенной функции и суммы функций: у' = -4x^3 + 4

Шаг 2: Найдем стационарные точки (места, где производная равна нулю). -4x^3 + 4 = 0

Шаг 3: Решим уравнение для x: -4x^3 = -4 x^3 = 1 x = 1

Шаг 4: Проверим, является ли точка x = 1 точкой минимума или максимума. Для этого проанализируем вторую производную функции у.

Шаг 5: Найдем вторую производную функции у по переменной х. у'' = d^2/dx^2(-x^4 + 4x)

Для этого снова применим правило дифференцирования степенной функции и суммы функций: у'' = -12x^2

Шаг 6: Подставим найденную стационарную точку x = 1 во вторую производную: у''(1) = -12 * 1^2 = -12

Шаг 7: Анализ второй производной: Если у''(1) < 0, то это является точкой максимума. Если у''(1) > 0, то это является точкой минимума. Если у''(1) = 0, то тест не дает определенного результата.

В нашем случае у''(1) = -12 < 0, следовательно, точка x = 1 является точкой максимума функции у = -x^4 + 4x.

Таким образом, точка максимума: x = 1 y = -(1)^4 + 4 * 1 = 3

Точка максимума: (1, 3)

Ответ: Точка максимума: (1, 3)