Question

Найти проекцию точки М(8,-2,7) на плоскость 4х-7у+5z+9=0?

Answer 1

ОБЪЯСНЕНИЕ :

Для нахождения проекции точки M0 на плоскость Ax+By+Cz+D=0, необходимо:

1) построить прямую L, проходящую через точку M0 и перпендикулярной плоскости Ax+By+Cz+D=0.

2) найти пересечение данной плоскости с прямой L.

Общее уравнение плоскости имеет вид:  Ax+By+Cz+D=0  

где n(A,B,C)− называется нормальным вектором плоскости.

Уравнение прямой, проходящей через точку M0(x0, y0, z0) и имеющий направляющий вектор q(l, m, n) имеет следующий вид:

x-x0/l = y-y0/m = z-z0/n     (x0 - икс нулевое итд.)

Для того, чтобы прямая (3) была ортогональна плоскости (2), направляющий вектор q(l, m, n) прямой (3) должен быть коллинеарным нормальному вектору n(A,B,C) плоскости (2). Следовательно, в качестве направляющего вектора прямой (3) можно взять нормальный вектор плоскости (2). Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точку M0(x0, y0, z0) и ортогональный плоскости (2) имеет следующий вид:  x-x0/A = y-y0/B = z-z0/C

РЕШЕНИЕ :

Подставляя координаты точки M0(8, -2, 7) и координаты нормального вектора плоскости n(4, -7, 5) в (3), получим: (X-8)/4 = (Y+2)/-7 = (Z-7)/5

Составим параметрическое уравнение прямой:

t=(X-8)/4, t=(Y+2)/-7 t=(Z-7)/5.

Выразим переменные x, y, z через параметр t :

x= 4·t+ 8 , y= −7·t −2 , z= 5·t+ 7

ИТАК, Мы нашли уравнение прямой, проходящей через точку M0(8, -2, 7) и ортогональной плоскости (1). Наша задача найти такой параметр t в выражениях (4), при котором точка M(x,y,z) удовлетворяла уравнению плоскости (1).

Подставим значения x,y,z из выражения (4) в (1) и решим

относительно t.

4 ( 4 t+ 8 ) −7 ( −7 t −2 )+ 5 ( 5 t+ 7 )+ 9 = 0

16 t+ 49 t+ 25 t+ 32 + 14 + 35 + 9 = 0

t =  −1

Подставим значение t в выражения (4): x= 4 , y= 5 , z= 2 .

Ответ:  Проекцией точки M0(8, -2, 7) на плоскость (1) является точка: M1( 4 , 5 , 2 ).

Answer 2

Для нахождения проекции точки М(8, -2, 7) на плоскость 4х - 7у + 5z + 9 = 0, нужно выполнить несколько шагов:

Шаг 1: Найдите вектор нормали плоскости Уравнение плоскости имеет вид: 4x - 7y + 5z + 9 = 0 Вектор нормали к плоскости равен коэффициентам перед x, y и z, умноженным на -1: Вектор нормали, n = (-4, 7, -5)

Шаг 2: Найдите вектор направления от точки М до проекции Вектор направления, от точки М(8, -2, 7) до проекции, можно найти как разницу между координатами проекции и точки М: Вектор направления, v = (x - 8, y + 2, z - 7)

Шаг 3: Найдите проекцию вектора направления на вектор нормали Формула проекции вектора a на вектор b: proj_b(a) = ((a·b) / (b·b)) * b

где a·b представляет скалярное произведение векторов a и b, и b·b является квадратом длины вектора b.

Применим эту формулу к нашим векторам: proj_n(v) = ((v·n) / (n·n)) * n

Сначала вычислим числитель и знаменатель: v·n = (x - 8)(-4) + (y + 2)(7) + (z - 7)(-5) n·n = (-4)^2 + 7^2 + (-5)^2

Теперь вычислим проекцию вектора направления на вектор нормали: proj_n(v) = ((v·n) / (n·n)) * n proj_n(v) = (((x - 8)(-4) + (y + 2)(7) + (z - 7)(-5)) / ((-4)^2 + 7^2 + (-5)^2)) * (-4, 7, -5)

Шаг 4: Найдите координаты проекции точки М Теперь, чтобы найти координаты проекции точки М, нужно просто добавить полученную проекцию вектора направления к исходной точке М: Проекция точки М, P = M + proj_n(v) P(x, y, z) = (8, -2, 7) + (((x - 8)(-4) + (y + 2)(7) + (z - 7)(-5)) / ((-4)^2 + 7^2 + (-5)^2)) * (-4, 7, -5)

Теперь вычислим значения x, y и z: P(x, y, z) = (8, -2, 7) + (((x - 8)(-4) + (y + 2)(7) + (z - 7)(-5)) / 90) * (-4, 7, -5)

Итак, это и будет проекция точки М на плоскость 4х - 7у + 5z + 9 = 0.