Question

5. На доске написано число 1. За одну операцию к написанному числу можно либо прибавить 111, либо поменять местами две его соседние ненулевые цифры. Можно ли за несколько таких операций получить число 2009?

Answer 1

Ответ:

Нет

Пошаговое объяснение:

Число 1 даёт остаток 1 при делении на 9(то есть 1≡1(mod 9)).

111≡3(mod 9)

Значит, по свойствам сравнения чисел по модулю, при каждом прибавлении к числу числа 111 остаток от деления результата сложения на 9 по сравнению с исходным числом увеличится на 3.

Операция обмена цифр местами не меняет сумму цифр числа. Поэтому, так как сумма цифр числа S≡r(mod 9), где r - остаток от деления числа на 9, остаток при делении на 9 полученного числа и исходного не отличаются.

2009≡2(mod 9).

Тогда составим уравнение:

1+n*3≡2(mod 9)[n - количество операций сложения]

n*3≡1(mod 9)

Тогда получаем 3n=1+9k(k∈Z)

Число слева делится на 3, а число справа даёт остаток 1 при делении на 3(1≡1(mod 3) и 9k=3*3k≡0(mod 3)). Противоречие. Значит получить 2009 подобным способом нельзя

Answer 2

Да, можно получить число 2009 за несколько таких операций. Вот одна из возможных последовательностей операций, которая приведет к числу 2009:

1. 1 + 111 = 112
2. Поменять местами цифры: 121
3. 121 + 111 = 232
4. Поменять местами цифры: 322
5. 322 + 111 = 433
6. Поменять местами цифры: 343
7. 343 + 111 = 454
8. Поменять местами цифры: 445
9. 445 + 111 = 556
10. Поменять местами цифры: 565
11. 565 + 111 = 676
12. Поменять местами цифры: 667
13. 667 + 111 = 778
14. Поменять местами цифры: 787
15. 787 + 111 = 898
16. Поменять местами цифры: 889
17. 889 + 111 = 1000
18. 1000 + 1000 = 2000
19. 2000 + 9 = 2009

Таким образом, можно получить число 2009, выполняя указанные операции.