Question

На доске написано число 1. Вася может задумать любую цифру. Затем он может за одну операцию либо умножить число на доске на задуманную цифру, либо прибавить к числу на доске единицу. Может ли Вася задумать цифру так, чтобы за 10 таких операций получить число 2015?

Answer 1

Ответ:

Можно

Пошаговое объяснение:

Чтобы из 1 получить 2015 как можно скорее, нужно как можно больше умножать число на 5.

Будем решать с конца. Разложим 2015 на множители:

2015 = 5*403 (1 ход)

Очевидно, что Вася задумал 5, потому что 403 - простое число. Вычитаем из него 1, пока не получится число, кратное 5, то есть 400:

403 - 1 - 1 - 1 = 400 (3 хода)

Теперь делим его на 5:

400 : 5 = 80

80 : 5 = 16 (2 хода)

Снова вычитаем 1:

16 - 1 = 15 (1 ход)

И делим на 5:

15 : 5 = 3 (1 ход)

Вычитаем по 1, пока не дойдем до 1:

3 - 1 - 1 = 1 (2 хода)

Считаем ходы:

2 + 1 + 1 + 2 + 3 + 1 = 10 ходов, как и надо.

Проделаем теперь все ходы сначала, от 1 до 2015:

Вася задумал цифру 5.

1 + 1 + 1 = 3 (2 хода)

3*5 = 15 (3 хода)

15 + 1 = 16 (4 хода)

16*5*5 = 400 (6 ходов)

400 + 1 + 1 + 1 = 403 (9 ходов)

403*5 = 2015 (10 ходов)

Всё!

Answer 2

Да, Вася может задумать цифру так, чтобы за 10 операций получить число 2015.

Рассмотрим последовательность операций, которую Вася может выполнять:

1. Умножение числа на доске (начально 1) на 2: 1 * 2 = 2.
2. Умножение числа на доске (теперь 2) на 2: 2 * 2 = 4.
3. Умножение числа на доске (теперь 4) на 2: 4 * 2 = 8.
4. Умножение числа на доске (теперь 8) на 2: 8 * 2 = 16.
5. Умножение числа на доске (теперь 16) на 2: 16 * 2 = 32.
6. Умножение числа на доске (теперь 32) на 2: 32 * 2 = 64.
7. Умножение числа на доске (теперь 64) на 2: 64 * 2 = 128.
8. Умножение числа на доске (теперь 128) на 2: 128 * 2 = 256.
9. Прибавление к числу на доске (теперь 256) единицы: 256 + 1 = 257.
10. Умножение числа на доске (теперь 257) на 8: 257 * 8 = 2056.

Таким образом, Вася может задумать цифру 8, чтобы за 10 операций получить число 2015.