Question

Исследовать функцию на непрерывность f(x)=x^2-2*x-4

Answer 1

По определению функция непрерывна, если:

$\lim_{x \to \{x_0}} f(x)=f(x_0)$

Для данной функции это условие выполняется для любых x, значит она непрерывна на R.

Answer 2

Для исследования функции на непрерывность, мы должны проверить несколько условий:

1. Функция должна быть определена на всей числовой прямой. В данном случае, функция f(x) = x^2 - 2x - 4 является многочленом, и многочлены определены на всей числовой прямой.

2. Функция не должна иметь разрывов в своей области определения. Разрывы могут возникать в точках, где функция становится неопределенной или имеет разные значения справа и слева от точки.

Для определения разрывов, найдем значения x, при которых функция может быть неопределенной или может иметь разные значения справа и слева.

Функция f(x) = x^2 - 2x - 4 определена на всей числовой прямой, поэтому первое условие выполняется.

Теперь найдем точки, в которых функция может иметь разрывы. Для этого ищем значения x, при которых знаменатель обращается в нуль (если он есть). Однако в данной функции нет знаменателя, поэтому разрывов по этой причине нет.

Следующий шаг - проверить наличие точек разрыва в результате разных значений функции слева и справа от какой-либо точки. Для этого анализируем производную функции и ищем экстремумы, так как в этих точках функция может менять свой характер.

Найдем производную функции f'(x):

f'(x) = d/dx (x^2 - 2x - 4) = 2x - 2.

Чтобы найти экстремумы (точки, где производная равна нулю), приравняем f'(x) к нулю и решим уравнение:

2x - 2 = 0, 2x = 2, x = 1.

Теперь проверим знак производной слева и справа от этой точки:

При x < 1, берем, например, x = 0: f'(0) = 2*0 - 2 = -2 (меньше нуля).

При x > 1, берем, например, x = 2: f'(2) = 2*2 - 2 = 2 (больше нуля).

Из этого следует, что у функции f(x) есть локальный минимум в точке x = 1.

Таким образом, исследование на непрерывность функции f(x) = x^2 - 2x - 4 показывает, что она определена на всей числовой прямой и не имеет разрывов в своей области определения. Однако есть одна точка, где функция имеет локальный минимум (разрыв второго рода), а именно x = 1.