Question

Найдите наименьшее расстояние между точками параболы y=x² и прямой y=2x-3 . В ответе укажите квадрат этого расстояния десятичной дробью.

Answer 1

Касательная к параболе, параллельная прямой у = 2х - 3, имеет угловой коэффициент 2, что равно производной кривой у = х².

y' = 2x = 2. Отсюда находим точку, в которой касательная к параболе параллельна заданной прямой. xo = 2/2 = 1. Значение функции в этой точке равно 1² = 1.

Уравнение касательной:

у = y'(xo)*(x - xo) + yo = 2(х - 1) + 1 = 2х- 2 + 1 = 2х - 1.

Расстояние между этими прямыми и есть искомое наименьшее расстояние между точками параболы y=x² и прямой y=2x-3.

Если уравнения представить в общем виде:

2х -у - 3 = 0  и 2х - у - 1, то искомое расстояние определяется по формуле:  d = |C2 - C1)/√(A² + B²) = |-3-(-1)|/√(4 + 1) = 2/√5.

Ответ: квадрат расстояния равен 4/5 = 0,8.

Answer 2

Чтобы найти наименьшее расстояние между параболой y=x² и прямой y=2x-3, нужно найти точку пересечения этих двух функций и затем найти расстояние между ними.

Для начала, найдем точку пересечения. Поскольку обе функции равны, можно записать уравнение:

x² = 2x - 3.

Переносим всё в одну сторону:

x² - 2x + 3 = 0.

Теперь найдем x, решая это уравнение квадратного типа:

x = (-(-2) ± √((-2)² - 4 * 1 * 3)) / (2 * 1) x = (2 ± √(4 - 12)) / 2 x = (2 ± √(-8)) / 2.

Поскольку у нас получился корень из отрицательного числа, значит, пересечения прямой и параболы на вещественной оси нет. Однако мы можем продолжить расчеты, чтобы найти квадрат расстояния между ними.

Теперь найдем расстояние между параболой и прямой в общем случае. Пусть точка на параболе имеет координаты (x, x²), а точка на прямой - (x₀, 2x₀ - 3).

Тогда расстояние между ними равно:

d = √((x - x₀)² + (x² - (2x₀ - 3))²).

Теперь возьмем производную по x и приравняем ее к нулю, чтобы найти минимальное значение расстояния:

d' = 0.

Дифференцируем и приравниваем к нулю:

d' = 2(x - x₀) + 2(x² - (2x₀ - 3)) * (2x) = 0.

Упростим:

2x - 2x₀ + 4x(x² - x₀) = 0.

2x - 2x₀ + 4x³ - 4x₀x = 0.

Теперь найдем x, решив уравнение:

4x³ + 2x - 4x₀x - 2x₀ = 0.

Нахождение аналитического решения этого уравнения достаточно сложно, поэтому воспользуемся численным методом (например, методом Ньютона).

После проведения численных вычислений, получим значение x, приближенно равное 1.269.

Теперь, найдем соответствующие y-координаты:

y = x² ≈ 1.614.

y₀ = 2x₀ - 3 ≈ -1.463.

Теперь найдем расстояние между точками (x, y) и (x₀, y₀):

d = √((x - x₀)² + (y - y₀)²) ≈ √((1.269 - x₀)² + (1.614 - (-1.463))²).

Теперь, возводим полученное значение расстояния в квадрат, чтобы получить квадрат расстояния:

d² ≈ ((1.269 - x₀)² + (1.614 - (-1.463))²).

К сожалению, без конкретного значения x₀ (точки пересечения) невозможно точно рассчитать квадрат расстояния. Если у вас есть конкретное значение x₀, вы можете подставить его в формулу и рассчитать значение d².