Question

Помогите пожалуйста, найти производную неявно заданной функции ху+lny-2lnx=0

Answer 1

Ответ: y'=(2/x - y)/(x + 1/y)

Пошаговое объяснение:

xy+lny-2lnx=0

Продифференцируем обе части

y+xy'+y'/y-2/x=0

Сгруппируем члены с y'

y'(x + 1/y)=2/x - y откуда

y'=(2/x - y)/(x + 1/y)

Answer 2

Ответ:

y' = (2y - xy^2)/(x + yx^2)

Пошаговое объяснение:

xy + ln y - 2ln x = 0

Берем производную по х, считая у функцией y(x).

y + xy' + 1/y*y' - 2/x = 0

y'*(x + 1/y) = 2/x - y

y' = (2/x - y) : (x + 1/y) = (2-xy)/x : (xy+1)/y = (2-xy)/(1+xy) * y/x

y' = (2y - xy^2) / (x + yx^2)

Answer 3

Конечно, чтобы найти производную неявно заданной функции, давайте продифференцируем уравнение относительно x. Предположим, что у нас есть функция y = f(x), которая удовлетворяет уравнению ху + ln(y) - 2ln(x) = 0.

Шаг 1: Продифференцируем уравнение по x с помощью правила дифференцирования сложной функции (производная композиции функций):

d/dx [ху + ln(y) - 2ln(x)] = d/dx [0].

Шаг 2: Дифференцируем каждое слагаемое:

(d/dx [ху]) + (d/dx [ln(y)]) - (d/dx [2ln(x)]) = 0.

Шаг 3: Вычислим производные:

Учитывая, что y = f(x), мы можем заменить y в выражении:

d/dx [х * f(x)] + (d/dx [ln(f(x))]) - (d/dx [2ln(x)]) = 0.

Теперь продифференцируем каждое слагаемое:

1. d/dx [х * f(x)]: Здесь используем правило произведения функций (производная произведения):

d/dx [х * f(x)] = х * f'(x) + f(x) * 1.

2. d/dx [ln(f(x))]: Здесь используем цепное правило (производная логарифма):

d/dx [ln(f(x))] = (1/f(x)) * f'(x).

3. d/dx [2ln(x)]: Здесь используем производную логарифма:

d/dx [2ln(x)] = 2 * (1/x) = 2/x.

Шаг 4: Заменяем результаты в исходном уравнении:

х * f'(x) + f(x) * (1/f(x)) * f'(x) - 2/x = 0.

Шаг 5: Упрощаем уравнение:

х * f'(x) + f'(x) - 2/x = 0.

Шаг 6: Факторизуем f'(x) из двух слагаемых:

f'(x) * (x + 1) - 2/x = 0.

Шаг 7: Выразим производную f'(x):

f'(x) = 2/x / (x + 1).

Таким образом, производная неявно заданной функции ху + ln(y) - 2ln(x) = 0 равна f'(x) = 2/x / (x + 1).