Question

Cкласти рівняння нормалі до параболи y=x^2-6x+6 перпендикулярної до прямої що з*єднує початок координат з вершиною параболи

Answer 1

Дано уравнение параболы y=x^2-6x+6.

Вершина её хо =-в/2а = 6/(2*1) = 3, уо = 9-18+6 = -3.

Угловой коэффициент прямой, проходящей через начало координат и вершину параболы, равен к1 = -3/3 = -1.

Производная этой функции равна y' = 2x - 6.

Уравнение нормали к параболе имеет вид у(н) = уо - (1/y'(xo))*(x - xo).

Величина "- (1/y'(xo))" это угловой коэффициент к2 нормали, он равен: к2 = -1/к1 = -1/(-1) = 1.

Приравняем (- (1/y'(xo))) = 1 и подставим y' = 2xо - 6.

(-1/(2xо - 6)) = 1. Отсюда 2xо - 6 = -1,  2хо = 5,  хо = 5/2 = 2,5 это точка А пересечения нормали и параболы.  уо = (25/4)- (30/2) + 6 = -11/4 = -2,75.

Подставив координаты точки А в уравнение нормали, получаем:

у(н) = х - (21/4).

Answer 2

Щоб знайти рівняння нормалі до параболи, перпендикулярної до прямої, яка з'єднує початок координат з вершиною параболи, спочатку знайдемо координати вершини параболи.

Парабола має загальний вигляд рівняння: y = ax^2 + bx + c.

В даному випадку, a = 1, b = -6, c = 6.

Координати вершини параболи можна знайти, використовуючи формулу: x = -b / (2a).

x = -(-6) / (2 * 1) = 6 / 2 = 3.

Підставимо x = 3 у вихідне рівняння параболи, щоб знайти y:

y = 3^2 - 6 * 3 + 6 = 9 - 18 + 6 = -3.

Таким чином, координати вершини параболи - це (3, -3).

Тепер, для знаходження рівняння нормалі, перпендикулярної до прямої, яка з'єднує початок координат (0, 0) з вершиною параболи (3, -3), можна скористатися властивостями параболи. Відомо, що нормаль до параболи в певній точці є перпендикулярна до тангенти до параболи в тій же точці.

Тангента до параболи в точці (3, -3) має нахил, який відповідає похідній функції параболи в цій точці.

Похідна від y відносно x: dy/dx = 2x - 6.

Підставимо x = 3, щоб знайти нахил тангенти:

dy/dx = 2 * 3 - 6 = 6 - 6 = 0.

Таким чином, нахил тангенти в точці (3, -3) дорівнює 0.

Оскільки нормаль перпендикулярна до тангенти, то її нахил дорівнюватиме -1 / 0 (не визначено). Це означає, що нормаль є вертикальною лінією.

Тепер знаємо, що нормаль є вертикальною лінією, яка проходить через точку (3, -3).

Рівняння вертикальної лінії, що проходить через точку (3, -3), має вигляд: x = 3.

Таким чином, рівняння нормалі до параболи, перпендикулярної до прямої, яка з'єднує початок координат з вершиною параболи, є x = 3.