Question

Найдите производную функции x*sin*√x

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

sin√x+(xcos√x)/2√x

Answer 2

Для нахождения производной функции $x \cdot \sin(\sqrt{x})$ по $x$ воспользуемся правилом производной произведения функций. Пусть $u = x$ и $v = \sin(\sqrt{x})$, тогда исходная функция записывается как $uv$.

Применяем правило производной произведения: $\frac{d(uv)}{dx} = u \cdot \frac{dv}{dx} + v \cdot \frac{du}{dx}$

Теперь найдем производные $u$ и $v$ по $x$:

1. $u = x$ Тогда $\frac{du}{dx} = 1$ (производная по $x$ от $x$ равна 1).

2. $v = \sin(\sqrt{x})$ Для нахождения производной этой функции, воспользуемся цепным правилом. Пусть $y = \sqrt{x}$, тогда $v = \sin(y)$. Найдем $\frac{dv}{dy}$ и $\frac{dy}{dx}$, а затем произведем их произведение: $\frac{dv}{dy} = \cos(y) \quad \text{(производная синуса)}$ $\frac{dy}{dx} = \frac{d(\sqrt{x})}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \quad \text{(производная корня)}$

Теперь собираем всё вместе:

$\frac{d(uv)}{dx} = u \cdot \frac{dv}{dy} \cdot \frac{dy}{dx} + v \cdot \frac{du}{dx}$ $\frac{d(x \cdot \sin(\sqrt{x}))}{dx} = x \cdot \cos(\sqrt{x}) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} + \sin(\sqrt{x}) \cdot 1$

Упростим выражение: $\frac{d(x \cdot \sin(\sqrt{x}))}{dx} = \frac{\cos(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}} + \sin(\sqrt{x})$

Таким образом, производная функции $x \cdot \sin(\sqrt{x})$ по $x$ равна $\frac{\cos(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}} + \sin(\sqrt{x})$