Question

Исследовать функцию и построить ее график y=2x^4-x

Answer 1

Решение точное, но с параболой возникли проблемы

Answer 2

Для исследования функции y = 2x^4 - x и построения ее графика, давайте рассмотрим некоторые характеристики этой функции.

1. Найдем точки пересечения с осями координат: Для этого, приравняем y к нулю и найдем соответствующие значения x: 2x^4 - x = 0

   Факторизуем уравнение: x(2x^3 - 1) = 0

   Получаем два корня: x = 0 и 2x^3 - 1 = 0

   Для второго корня решим уравнение: 2x^3 - 1 = 0 2x^3 = 1 x^3 = 1/2 x = ∛(1/2)

   Таким образом, у нас есть три точки пересечения с осями координат: A(0, 0) и B(∛(1/2), 0)

2. Найдем экстремумы функции: Для этого найдем производную функции и приравняем ее к нулю: y = 2x^4 - x

   y' = d(2x^4 - x)/dx = 8x^3 - 1

   Найдем x: 8x^3 - 1 = 0 8x^3 = 1 x^3 = 1/8 x = ∛(1/8)

   Таким образом, у нас есть одна критическая точка: C(∛(1/8), 2(∛(1/8))^4 - ∛(1/8))

3. Определим поведение функции на интервалах: а) Когда x < ∛(1/8): Выберем произвольную точку x_1 < ∛(1/8), например, x_1 = 0. Подставим x_1 в исходную функцию: y_1 = 2(0)^4 - 0 = 0

   Теперь выберем точку x_2 между ∛(1/8) и 0, например, x_2 = -1. Подставим x_2 в исходную функцию: y_2 = 2(-1)^4 - (-1) = 3

   Так как y_1 < 0, а y_2 > 0, то на интервале x < ∛(1/8) функция принимает отрицательные значения, а затем положительные, и проходит через ноль в точке A(0, 0).

   б) Когда ∛(1/8) < x < ∛(1/2): Выберем произвольную точку x_3 между ∛(1/8) и ∛(1/2), например, x_3 = 0.3. Подставим x_3 в исходную функцию: y_3 = 2(0.3)^4 - 0.3 ≈ 0.2091

   Так как y_3 > 0, то на этом интервале функция принимает только положительные значения.

   в) Когда x > ∛(1/2): Выберем произвольную точку x_4 > ∛(1/2), например, x_4 = 1. Подставим x_4 в исходную функцию: y_4 = 2(1)^4 - 1 = 1

   Теперь выберем точку x_5 между ∛(1/2) и 1, например, x_5 = 0.7. Подставим x_5 в исходную функцию: y_5 = 2(0.7)^4 - 0.7 ≈ 0.5886

   Так как y_4 > 0, а y_5 < 0, то на интервале x > ∛(1/2) функция сначала принимает положительные значения, а затем отрицательные, и проходит через ноль в точке B(∛(1/2), 0).

4. Определим поведение функции на бесконечности: При x → ±∞, функция y = 2x^4 - x стремится к положительной бесконечности, так как степень x^4 растет быстрее, чем линейный член -x.

Теперь построим график функции y = 2x^4 - x:

perlCopy code
           |
           |         + B(∛(1/2), 0)
           |       /
           |      /
           |     /
           |    /
           |   /
           |  /
           | / 
___________|/_________
           |          |
          A(0, 0)     |
                      |

На графике видно, что функция имеет две точки пересечения с осью x (A и B) и одну критическую точку (C). Она начинается из четвертого квадранта, проходит через точку A, продолжает расти на интервале от A до C, достигает максимума в точке C, и затем убывает на интервале от C до B, проходя через ноль в точке B. После этого функция продолжает убывать и стремится к положительной бесконечности при x → ±∞.