Question

Найти общий интеграл уравнения sinx siny dx- cosx cosy dy=0

Answer 1

$sinx\cdot siny\cdot dx-cosx\cdot cosy\cdot dy=0\\\\sinx\cdot siny\cdot dx=cosx\cdot cosy\cdot dy\\\\\int \frac{sinx\cdot dx}{cosx}=\int \frac{cosy\cdot dy}{siny}\\\\\int \frac{-d(cosx)}{cosx}=\int \frac{d(siny)}{siny}\\\\-ln|cosx|=ln|siny|+lnC\\\\ln|siny|+ln|cosx|+lnC=0\\\\ln(C\cdot siny\cdot cosx)=0\\\\C\cdot siny\cdot cosx=1\\\\siny\cdot cosx=\frac{1}{C}\\\\siny=\frac{1}{C\, cosx}\\\\y=arcsin(\frac{1}{C\, cosx})$

Answer 2

Для нахождения общего интеграла данного уравнения, нужно проинтегрировать обе части уравнения по соответствующим переменным. Уравнение имеет вид:

∫(sin(x)sin(y)) dx - ∫(cos(x)cos(y)) dy = 0

Для первого слагаемого ∫(sin(x)sin(y)) dx:

Здесь интегрирование производится по переменной x при считании y как постоянной.

∫(sin(x)sin(y)) dx = sin(y)∫sin(x) dx = -sin(y)cos(x) + C1

где C1 - постоянная интегрирования.

Для второго слагаемого ∫(cos(x)cos(y)) dy:

Здесь интегрирование производится по переменной y при считании x как постоянной.

∫(cos(x)cos(y)) dy = cos(x)∫cos(y) dy = sin(x)sin(y) + C2

где C2 - постоянная интегрирования.

Теперь общий интеграл уравнения имеет вид:

-sin(y)cos(x) + C1 - sin(x)sin(y) - C2 = 0

Для упрощения можно объединить константы C1 и C2 в одну, назовем её C:

-sin(y)cos(x) - sin(x)sin(y) + C = 0

Теперь можно заметить, что два слагаемых в левой части уравнения взаимно уничтожаются, так как они равны друг другу с обратными знаками:

-sin(y)cos(x) - sin(x)sin(y) = 0

Таким образом, общий интеграл исходного уравнения можно записать как:

C = 0

Таким образом, общий интеграл данного уравнения является произвольной константой C.