Question

Помогите пожалуйста) Даны вершины пирамиды ABCД. Найдите: 1) Угол между ребрами AB и AC; 2) Площадь грани ABC; 3) Проекцию AB на CД; 4) Объем пирамиды ABCД; 5) ур-е стороны AB; 6) Ур-е высоты ДО пирамиды ABCД; 7) Длину высоты ДО пирамиды ABCД; 8) Координаты т. О- пересечения высоты ДO и осн. пирамиды ABC. А ( 1; 1; 7 ) B ( -3; -2; -6 ) C ( 3; -4; -2 ) Д ( 0; -1; 2 )

Answer 1

1) Находим длины рёбер пирамиды.

|AB|=√(xB−xA)²+(yB−yA)²+(zB−zA)²) = √((−3−1)²+(−2−1)²+(−6−7)²) = √((−4)²+(−3)²+(−13)²) = √(16+9+169) = √194 ≈ 13,928.

|AC| = √((xC−xA)²+(yC−yA)²+(zC−zA)²) = √((3−1)²+(−4−1)²+(−2−7)²) = √(2²+(−5)²+(−9)²) = √(4+25+81) = √110 ≈ 10,488.

|BC| = √((xC−xB)²+(yC−yB)²+(zC−zB)²) = √((3−(−3))²+(−4−(−2))²+(−2−(−6))²) = √(6²+(−2)²+4²) = √(36+4+16) = √56 =2√14 ≈ 7,483.

Угол между ребрами AB и AC находим по по теореме косинусов:

∠(AB,AC) = arccos((|AB|²+|AC|²−|BC|²)/(2|AB|⋅|AC|)) = =arccos((194+110−56)/(2⋅√194*√110)) = arccos(248/2 13,928388*10,488088) = arccos0,8488373 = 0,557014 радиан  =  31,914563 градусов.

Решение этой же задачи векторным способом.

Составим направляющие векторы рёбер:

AB = {xab;yab;zab}={xB−xA;yB−yA;zB−zA}={−3−1;−2−1;−6−7}={−4;−3;−13},

AC = {xac;yac;zac}={xC−xA;yC−yA;zC−zA}={3−1;−4−1;−2−7}={2;−5;−9}.

Модули определены выше: |AB| = √194  |AC| = √110.

Скалярное произведение равно:

АВ х АС = (-4)*2 + (-3)*(-5) + (-13)*(-9) = -8 + 15 + 117 = 124.

cos(АВ х АС) = 124/(√194*√110) = 0,8488373.

Угол равен 31,914563 градусов.

2)  Площадь грани ABC определяем как половину модуля векторного произведения АВ х АС.

Произведение векторов      

a × b = {aybz - azby; azbx - axbz; axby - aybx}.

Подставив данные, получаем АВ х АС = x y z

                                                                     -38  -62 26 .

Модуль равен √((-38)² + (-62)² + 26²) = √(1444 + 3844 + 676 ) = √5964 .

Площадь грани АВС равна (1/2)√5964 ≈ 38,613469 кв.ед.

3) Проекция AB на CД. Вектор АВ равен {−4;−3;−13} (определён ранее).

Вектор СД равен {xD-xC, yD-yC, zD-zC} = (-3; 3; 4).

Модуль СД равен √34 ≈ 5,8309519.  

Решение:  Пр ba =  a · b /|b| .

Найдем скалярное произведение векторов:

a · b = ax · bx + ay · by + az · bz = (-4) · (-3) + (-3) · 3 + (-13) · 4 = 12 - 9 - 52 = -49 .

Найдем модуль вектора:

|b| = √bx2 + by2 + bz2 = √(-3)2 + 32 + 42 = √9 + 9 + 16 = √34

Пр ba = -49√34  ≈ -8,4034307.

4) Объем V пирамиды ABCД равен (1/6) смешанного произведения векторов (АВ х АС) х АД.

Вектор АD={xD-xA, yD-yA, zD-zA} = (-1; -2; -5).

Модуль равен √30 ≈ 5,477225.

                 x   y    z  

AB*AC -38 -62 26  

      AD -1 -2 -5  

Произведение 38 + 124 - 130 =  32.

V = (1/6) * 32 = 5,3333 куб.ед.

6) Уравнение высоты ДО пирамиды ABCД.

Эта высота - нормальный вектор плоскости АВС через точку Д.

Он будет являться направляющим вектором искомой прямой. Тогда её уравнение в каноническом виде запишется так.  

(x-Дx)/A=(y-Дy)/B=(z-Дz)/C.

АВ х АС = (-38;  -62;  26) .   Д ( 0; -1; 2 )

Получаем уравнение ДО: x/(-38) = (y + 2)/(-62) = (z - 2)/26.

     

Answer 2

Для решения задачи, нам потребуется найти длины ребер, площадь грани, объем пирамиды, а также координаты точки пересечения высоты и основания пирамиды.

1. Угол между ребрами AB и AC:

Угол между двумя векторами можно найти с помощью скалярного произведения исходных векторов. Пусть векторы AB и AC будут A1 и A2 соответственно.

A1 = (B - A) = (-3 - 1, -2 - 1, -6 - 7) = (-4, -3, -13) A2 = (C - A) = (3 - 1, -4 - 1, -2 - 7) = (2, -5, -9)

Теперь найдем скалярное произведение векторов A1 и A2:

A1 · A2 = (-4 * 2) + (-3 * -5) + (-13 * -9) = -8 + 15 + 117 = 124

Длины векторов A1 и A2:

|A1| = √((-4)^2 + (-3)^2 + (-13)^2) = √(16 + 9 + 169) = √194 ≈ 13.93 |A2| = √(2^2 + (-5)^2 + (-9)^2) = √(4 + 25 + 81) = √110 ≈ 10.49

Теперь можем найти угол между ребрами AB и AC:

cos θ = (A1 · A2) / (|A1| * |A2|) cos θ = 124 / (13.93 * 10.49) cos θ ≈ 0.8327

θ ≈ arccos(0.8327) θ ≈ 33.41° (в градусах)

2. Площадь грани ABC:

Для нахождения площади грани ABC воспользуемся формулой площади треугольника по его сторонам. Найдем длины сторон треугольника ABC:

AB = √((-3 - 1)^2 + (-2 - 1)^2 + (-6 - 7)^2) = √((-4)^2 + (-3)^2 + (-13)^2) = √194 ≈ 13.93 AC = √((3 - 1)^2 + (-4 - 1)^2 + (-2 - 7)^2) = √(2^2 + (-5)^2 + (-9)^2) = √110 ≈ 10.49 BC = √((-3 - 3)^2 + (-2 - (-4))^2 + (-6 - (-2))^2) = √((-6)^2 + 6^2 + (-4)^2) = √88 ≈ 9.38

Теперь, используя полупериметр треугольника (p) и формулу Герона, найдем его площадь (S):

p = (AB + AC + BC) / 2 p = (13.93 + 10.49 + 9.38) / 2 ≈ 16.9

S = √(p * (p - AB) * (p - AC) * (p - BC)) S = √(16.9 * (16.9 - 13.93) * (16.9 - 10.49) * (16.9 - 9.38)) S ≈ √(16.9 * 2.97 * 6.41 * 7.52) ≈ √(1811.44) ≈ 42.57

3. Проекция AB на CD:

Чтобы найти проекцию вектора AB на вектор CD, нужно найти проекцию вектора AB на направление вектора CD. Нормализуем вектор CD (назовем его D1):

D1 = CD / |CD| = (3 - 0, -4 - (-1), -2 - 2) = (3, -3, -4) |CD| = √(3^2 + (-3)^2 + (-4)^2) = √(9 + 9 + 16) = √34 ≈ 5.83

Теперь найдем проекцию вектора AB на D1 (назовем ее P):

P = (AB · D1) / |D1| P = ((-4 * 3) + (-3 * -3) + (-13 * -4)) / 5.83 P = (-12 + 9 + 52) / 5.83 P ≈ 49.09 / 5.83 ≈ 8.41

Теперь найдем проекцию вектора AB на вектор CD:

Projection_AB_on_CD = P * (D1 / |D1|) Projection_AB_on_CD ≈ 8.41 * (3 / 5.83, -3 / 5.83, -4 / 5.83) Projection_AB_on_CD ≈ (2.42, -2.42, -3.24)

4. Объем пирамиды ABCD:

Объем пирамиды можно найти, используя формулу V = (1/3) * S_base * h, где S_base - площадь основания, а h - высота пирамиды.

Уже ранее мы нашли площадь грани ABC ≈ 42.57.

Теперь нам нужно найти высоту пирамиды. Для этого будем использовать формулу объема V = (1/3) * S_base * h и выразим h:

h = (3 * V) / S_base

Где V - объем пирамиды, а S_base - площадь грани ABC.

Подставим известные значения:

h = (3 * V) / 42.57

Однако нам нужно знать высоту пирамиды (DO). Для этого найдем её проекцию на грань ABC:

Projection_DO_on_ABC