Question

Сумма трех положительных чисел составляющих арифметическую прогрессию равна 15. Если ко второму из них прибавить 1, к третьему 10, а первое оставить без изменения, то получится геометрическая прогрессия. Найдите произведение исходных трех чисел

Answer 1

Пусть а, b, с - исходные числа, тогда:

а + b + с = 15    [1]

По свойству арифметической прогрессии:

b - а = с - b  ⇒  а + с = 2b  подставим в уравнение [1]:

2b + b = 15  ⇒  3b = 15   ⇒   b = 5  - второе число

Сумма оставшихся двух чисел:

а + с = 15 - 5  ⇒  а + с = 10  ⇒  с = 10 - а

По свойству геометрической прогрессии:

$\displaystyle\tt \frac{b+1}{a}= \frac{c+10}{b+1}\\\\\frac{5+1}{a}= \frac{10-a+10}{5+1}\\\\ \frac{6}{a}= \frac{20-a}{6}\\\\6\cdot6=a(20-a)\\\\36=20a-a^2\\\\a^2-20a+36=0\\\\ D=400-144=256=16^2\\\\a_1=\frac{20-16}{2}=2 \ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ c_1=10-2=8 \\\\ a_2=\frac{20+16}{2}=18 \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ c_2=10-18=-8 \ \ \O$

Исходные числа:   а = 2; b = 5; с = 8

Произведение исходных чисел: 2 * 5 * 8 = 80

Ответ: 80

Answer 2

Пусть первое число в арифметической прогрессии равно a, а разность прогрессии равна d. Тогда трое чисел, составляющих арифметическую прогрессию, будут a, a + d и a + 2d.

Из условия задачи мы знаем, что сумма трех чисел составляющих арифметическую прогрессию равна 15:

a + (a + d) + (a + 2d) = 15

Теперь рассмотрим геометрическую прогрессию. К нему мы переходим следующим образом:

1. Ко второму числу прибавляем 1: (a + d) + 1
2. К третьему числу прибавляем 10: (a + 2d) + 10

Теперь у нас есть три числа, составляющих геометрическую прогрессию: a, (a + d) + 1 и (a + 2d) + 10.

Геометрическая прогрессия имеет вид b, bq, bq^2, где b - первый член прогрессии, q - знаменатель прогрессии (отношение между любыми двумя соседними членами).

Таким образом, у нас есть:

b = a, bq = (a + d) + 1, bq^2 = (a + 2d) + 10.

Теперь найдем знаменатель q:

(bq^2 - bq) = ((a + 2d) + 10) - ((a + d) + 1) = (a + d + 9) - (a + d + 1) = 8.

Теперь, найдем b:

bq = (a + d) + 1, b * 8 = (a + d) + 1, b = (a + d + 1) / 8.

Теперь, найдем a:

a + (a + d) + (a + 2d) = 15, 3a + 3d = 15, a + d = 5, a = 5 - d.

Теперь, подставим a в выражение для b:

b = (a + d + 1) / 8 = ((5 - d) + d + 1) / 8 = (6 - d) / 8.

Итак, у нас есть:

b = (6 - d) / 8, q = 8.

Теперь, у нас есть полное выражение для геометрической прогрессии:

a, (a + d) + 1, (a + 2d) + 10 = a, a + d + 1, a + 2d + 10.

Чтобы найти произведение исходных трех чисел, умножим все три члена геометрической прогрессии:

a * (a + d + 1) * (a + 2d + 10).

Теперь подставим значение a + d из уравнения a + d = 5:

a * 5 * (a + 2d + 10).

Теперь подставим значение a = 5 - d:

(5 - d) * 5 * (5 - d + 2d + 10).

Теперь упростим:

(5 - d) * 5 * (5 + d + 10).

(5 - d) * 5 * (15 + d).

Теперь умножим:

75(5 - d + d).

75 * 5 = 375.

Итак, произведение исходных трех чисел равно 375.