Question

Решить интеграл dx/ 5x^2 -2x +4= с подробным решением подалуйста

Answer 1

Ответ:

$\int\frac{dx}{5x^{2}-2x+4}=\frac{1}{5}\int\frac{dx}{(x-\frac{1}{5})^{2}+(\frac{\sqrt{19}}{5})^{2}}=\frac{arctg\frac{5x-1}{\sqrt{19}}}{\sqrt{19}}+C$

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для решения данного интеграла, мы будем использовать метод частичных дробей.

Интеграл имеет вид:

∫(dx / 5x^2 - 2x + 4)

Шаг 1: Найдем корни знаменателя квадратного трехчлена 5x^2 - 2x + 4:

Дискриминант D = (-2)^2 - 4 * 5 * 4 = 4 - 80 = -76

Так как дискриминант отрицательный, корни будут комплексными числами:

x1 = (-(-2) + √(-76)) / (2 * 5) = (2 + 2i√19) / 10 = (1 + i√19) / 5

x2 = (-(-2) - √(-76)) / (2 * 5) = (2 - 2i√19) / 10 = (1 - i√19) / 5

Шаг 2: Разложим исходную функцию на простейшие дроби. Предположим, что

1 / (5x^2 - 2x + 4) = A / (x - (1 + i√19) / 5) + B / (x - (1 - i√19) / 5)

Шаг 3: Найдем числа A и B, приведя дробь в общий знаменатель:

1 = A * (x - (1 - i√19) / 5) + B * (x - (1 + i√19) / 5)

Шаг 4: Подставим значения корней x1 и x2 в уравнение и найдем A и B:

a) Подставим x1 = (1 + i√19) / 5:

1 = A * (((1 + i√19) / 5) - (1 - i√19) / 5) + B * (((1 + i√19) / 5) - ((1 + i√19) / 5))

1 = A * (2i√19 / 5) + B * (0)

1 = 2i√19A / 5

A = 5 / (2i√19)

b) Подставим x2 = (1 - i√19) / 5:

1 = A * (((1 - i√19) / 5) - (1 + i√19) / 5) + B * (((1 - i√19) / 5) - ((1 + i√19) / 5))

1 = A * (-2i√19 / 5) + B * (0)

1 = -2i√19A / 5

A = -5 / (2i√19)

Шаг 5: Подставим значения A и B обратно в исходное уравнение:

1 / (5x^2 - 2x + 4) = 5 / (2i√19) * 1 / (x - (1 + i√19) / 5) - 5 / (2i√19) * 1 / (x - (1 - i√19) / 5)

Шаг 6: Теперь мы можем проинтегрировать полученное выражение по x:

∫(dx / 5x^2 - 2x + 4) = ∫(5 / (2i√19) * 1 / (x - (1 + i√19) / 5) - 5 / (2i√19) * 1 / (x - (1 - i√19) / 5)) dx

∫(dx / 5x^2 - 2x + 4) = (5 / (2i√19)) * ln|x - (1 + i√19) / 5| - (5 / (2i√19)) * ln|x - (1 - i√19) / 5| + C

где C - постоянная интегрирования.

Таким образом, окончательное решение интеграла:

∫(dx / 5x^2 - 2x + 4) = (5 / (2i√19)) * ln|x - (1 + i√19) / 5| - (5 / (2i√19)) * ln|x - (1 - i√19) / 5| + C