Question

Lim (2-x)^sin(x-2) x->2 Применяя правило Лопиталя, (32б)

Answer 1

lim (2-x)^sin(x-2) = lim e^ln((2-x)^sin(x-2))=e^lim(ln(2-x)^sin(x-2))

lim(ln((2-x)^sin(x-2)))=lim(sin(x-2)ln(2-x))=lim(ln(2-x)/sin(x-2)^-1= по правилу Лопиталя = lim((1/(x-2))/(-sin^-2(x-2)cos(x-2))=lim((-sin^2(x-2)/cos(x-2)/(x-2))=lim(-sin(x-2)/(x-2))*lim(sin(x-2))*lim(cos(x-2)= по первому замечательному пределу = -1*0*1=0, а значит lim (2-x)^sin(x-2)=e^0=1

Answer 2

Чтобы применить правило Лопиталя, необходимо сначала вычислить предел вида 0/0 или бесконечность/бесконечность. Для этого найдем предел функции (2-x)^sin(x-2) при x->2:

lim(x->2) (2-x)^sin(x-2)

Подставим x=2:

(2-2)^sin(2-2) = 0^0

Выражение 0^0 неопределено, так как в разных случаях может принимать различные значения. Для того чтобы продолжить вычисления, перепишем исходную функцию в другом виде, используя свойство экспоненты:

(2-x)^sin(x-2) = e^(sin(x-2) * ln(2-x))

Теперь предел принимает форму 0 * бесконечность. Чтобы применить правило Лопиталя, продифференцируем числитель и знаменатель:

f(x) = sin(x-2) * ln(2-x)

f'(x) = cos(x-2) * ln(2-x) - sin(x-2) / (2-x)

g(x) = 2-x

g'(x) = -1

Теперь найдем предел отношения производных при x->2:

lim(x->2) f'(x) / g'(x) = lim(x->2) (cos(x-2) * ln(2-x) - sin(x-2)) / -1

Подставим x=2:

= (cos(2-2) * ln(2-2) - sin(2-2)) / -1 = (cos(0) * ln(0) - sin(0)) / -1 = (1 * (-∞) - 0) / -1 = -∞

Таким образом, предел функции (2-x)^sin(x-2) при x->2 равен -∞.