Question

Y=2/(x-3) Исследовать функцию, построить график. 11 кл

Answer 1

Дано: y = 2/(x-3)

Исследование:

1. Область определения: D(y)= X≠ 3 , X∈(-∞;3)∪(3;+∞). Не допускаем деления на 0 в знаменателе.

2.Поведение на бесконечности. Y(-∞)= -∞, Y(+∞)= -∞ - горизонтальная асимптота - y = 0.  

3. Разрыв II-го рода при Х = 3.

Вертикальных асимптота  - Х = 3.  

4. Нули функции, пересечение с осью ОХ.

x-3 = 2.   x = -2/3 .

5. Интервалы знакопостоянства.  

Отрицательна: Y(x)<0 - X∈(-∞;3). Положительна: Y>0 - X∈(3;+∞;)  

6. Проверка на чётность. Есть сдвиг по оси ОХ - нет симметрии ни осевой ни центральной.  

Функция ни чётная, ни нечётная: Y(-x) ≠ -Y(x) , Y(-x)≠ Y(x).  

7. Поиск экстремумов по первой производной.    

y'(x) = - 2/(x-3)² = 0. Корней - нет

8. Локальный максимум - нет.

9. Интервалы монотонности.  

Убывает: X∈(-∞;3)∪(3;+∞) - везде, где существует.  

10. Поиск перегибов по второй производной.  

y"(x) = 4/(x-3)³ = 0

Точки перегиба нет, кроме разрыва при Х = 0.    

11. Вогнутая - "ложка"- X∈(3;+∞;), выпуклая - "горка" - X∈(-∞;3);  12. Наклонная асимптота.  

k = lim(+∞) Y(х)/x = 2/(x²-3*х) = 0 - наклон.  y = 0 - горизонтальная асимптота.

13. Область значений. E(y) - y∈(-∞;+∞).  

14. График функции на рисунке в приложении.

Answer 2

Для исследования функции Y = 2/(x-3) необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти область определения функции.
2. Найти точки пересечения с осями координат.
3. Выяснить поведение функции при приближении x к точке, в которой функция не определена (в данном случае x=3).
4. Исследовать поведение функции при приближении x к бесконечности.
5. Найти значения функции для экстремумов (если они есть).
6. Найти точки перегиба (если они есть).
7. Построить график функции.

Давайте по порядку выполним эти шаги:

1. Область определения функции: Функция Y = 2/(x-3) определена для всех значений x, кроме x = 3 (так как знаменатель не может быть равен нулю). Таким образом, область определения функции - все reals, кроме x = 3.

2. Точки пересечения с осями координат: Чтобы найти точки пересечения с осями координат, приравняем Y к нулю и решим уравнение: 0 = 2/(x-3)

Уравнение не имеет решений, так как дробь не может равняться нулю при любом значении x, кроме x = 3 (что входит в область определения). Значит, функция не пересекает ось Y.

Чтобы найти точку пересечения с осью X, приравняем x к нулю и решим уравнение: y = 2/(0-3) = -2/3

Таким образом, функция пересекает ось X в точке (0, -2/3).

3. Поведение функции в окрестности x = 3: Приблизимся к x=3 слева и справа:

• При x < 3: Чем ближе x к 3 слева, тем больше становится значение знаменателя (x-3), что делает всю дробь отрицательно большой. Таким образом, функция стремится к отрицательной бесконечности.
• При x > 3: Чем ближе x к 3 справа, тем меньше становится значение знаменателя (x-3), что делает всю дробь отрицательно малой. Таким образом, функция стремится к отрицательной бесконечности.

4. Поведение функции при приближении x к бесконечности: При x -> ∞ (x стремится к бесконечности), значение знаменателя (x-3) стремится к бесконечности. Это делает всю дробь очень малой, и функция стремится к нулю.

5. Найти значения функции для экстремумов (если они есть): Функция Y = 2/(x-3) не имеет экстремумов, так как у нее нет стандартной формы функции, где можно взять производную и приравнять к нулю.

6. Найти точки перегиба (если они есть): Функция Y = 2/(x-3) не имеет точек перегиба, так как она представляет собой простую гиперболу.

7. Построить график функции: Для построения графика функции Y = 2/(x-3) можно использовать программы или онлайн-инструменты для построения графиков, такие как Desmos или GeoGebra.

На графике будет видно, что функция не определена в точке x = 3, а также она стремится к бесконечности при x -> 3 (с обеих сторон). График будет иметь вертикальную асимптоту в точке x = 3 и пересекает ось X в точке (0, -2/3).