Question

((x^{2} + 1)(x^{2} - 2))/(\sqrt[3]{x^{2} } ) решите интеграл 40 баллов

Answer 1

Сначала раскроем скобки в числителе подинтегрального выражения

$I = \int \frac{x^4 - x^2 - 2}{x^{2/3}}dx = \int (x^{10/3} - x^{4/3} - 2x^{-2/3})dx$

Далее интегрируем почленно, используя правило интегрирования степенной функции:

$\int x^{\alpha}dx = \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}$.

В итоге:

$I = \frac{x^{13/3}}{13/3} - \frac{x^{7/3}}{7/3} - 2\frac{x^{1/3}}{1/3} = 3\sqrt[3]{x}(\frac{x^4}{13} - \frac{x^2}{7} - 2)$.

Answer 2

Для решения данного интеграла, давайте разберемся с ним пошагово.

Интеграл: ∫((x^2 + 1)(x^2 - 2))/(x^(2/3)) dx

1. Раскроем скобки в числителе: (x^2 + 1)(x^2 - 2) = x^4 - 2x^2 + x^2 - 2 = x^4 - x^2 - 2

2. Теперь интеграл принимает вид: ∫((x^4 - x^2 - 2)/(x^(2/3))) dx

3. Разделим x^4 на x^(2/3) и x^2 на x^(2/3): ∫(x^(4 - 2/3) - x^(2 - 2/3) - 2x^(-2/3)) dx

4. Упростим показатели степени: ∫(x^(10/3) - x^(4/3) - 2x^(-2/3)) dx

5. Теперь возьмем интеграл каждого члена по отдельности:

   ∫(x^(10/3)) dx = (3/13) * x^(13/3) + C1, ∫(x^(4/3)) dx = (3/7) * x^(7/3) + C2, ∫(x^(-2/3)) dx = (3/1) * x^(1/3) + C3.

где C1, C2 и C3 - произвольные константы интегрирования.

6. Итоговый ответ: ∫((x^2 + 1)(x^2 - 2))/(x^(2/3)) dx = (3/13) * x^(13/3) - (3/7) * x^(7/3) - 6x^(1/3) + C,

где C - общая константа интегрирования.

Пожалуйста, обратите внимание, что выражение C1, C2 и C3 заменены на общую константу C, так как при интегрировании каждого члена мы получим постоянную прибавку к ответу, которую можно объединить в общую константу.