Question

Найдите стационарную точку функции z = 3x² – 7xy + 2y² + 5x – 3y + 4. В ответе укажите сумму координат.

Answer 1

$z=3x^2-7xy+2y^2+5x-3y+4\\\\\left \{ {{z'_{x}=6x-7y+5=0} \atop {z'_{y}=-7x+4y-3=0}} \right.\; \left \{ {{6x-7y=-5|\cdot 7} \atop {-7x+4y=3|\cdot 6}} \right. \oplus \left \{ {{-25y=-17} \atop {7x=4y-3}} \right. \left \{ {{y=\frac{17}{25}=0,68} \atop {x=-0,04}} \right. \; \; \to \; \; (-0,04\, ;\, 0,68)\\\\-0,04+0,68=0,64$

Answer 2

Чтобы найти стационарную точку функции z = 3x² - 7xy + 2y² + 5x - 3y + 4, нужно найти значения x и y, при которых градиент функции равен нулю. Градиент функции - это вектор, состоящий из частных производных по каждой переменной (x и y).

Давайте найдем градиент функции z по x и y:

∂z/∂x = 6x - 7y + 5 ∂z/∂y = -7x + 4y - 3

Теперь приравняем оба выражения к нулю и решим систему уравнений:

6x - 7y + 5 = 0 ...(1) -7x + 4y - 3 = 0 ...(2)

Решим эту систему методом уравнения с двумя переменными. Умножим уравнение (1) на 7 и уравнение (2) на 6, затем сложим их, чтобы избавиться от x:

42x - 49y + 35 + (-42x + 24y - 18) = 0

Получим:

-25y + 17 = 0

Теперь решим уравнение относительно y:

-25y = -17

y = 17/25

Теперь, зная значение y, найдем значение x, подставив найденное y в уравнение (1):

6x - 7 * (17/25) + 5 = 0

6x - (119/25) + 5 = 0

6x = 119/25 - 125/25

6x = -6/25

x = -1/25

Таким образом, стационарная точка функции находится при x = -1/25 и y = 17/25.

Теперь найдем значение z в этой точке:

z = 3 * (-1/25)² - 7 * (-1/25) * (17/25) + 2 * (17/25)² + 5 * (-1/25) - 3 * (17/25) + 4

z = 3/625 + 119/625 + 578/625 - 5/25 - 51/25 + 4

z = (3 + 119 + 578 - 125 - 51)/625

z = 524/625

Таким образом, значение функции в стационарной точке равно 524/625.

Итак, сумма координат стационарной точки равна:

-1/25 + 17/25 = 16/25