Question

Определить тип дифференциального уравнения первого порядка и найти его общее решение: y-y'cosx=ycosx(1-sinx)

Answer 1

Рассмотрите предложенное решение для этого ДУ с разделяющимися переменными).

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид:

y - y'cos(x) = ycos(x)(1 - sin(x))

Для решения этого уравнения сначала перепишем его в более удобной форме:

y(1 - cos(x)) = ycos(x)(1 - sin(x))

Затем разделим обе части уравнения на y(1 - sin(x)):

(1 - cos(x)) / (1 - sin(x)) = cos(x)

Теперь рассмотрим полученное уравнение:

(1 - cos(x)) / (1 - sin(x)) = cos(x)

Давайте преобразуем его для получения более явного выражения. Умножим обе части на (1 - sin(x)):

1 - cos(x) = cos(x)(1 - sin(x))

Раскроем скобки:

1 - cos(x) = cos(x) - cos(x)sin(x)

Теперь выразим cos(x) слева и соберем cos(x) в правой части:

1 = cos(x) - cos(x)sin(x) + cos(x)

Теперь вынесем общий множитель cos(x) в правой части:

1 = cos(x)(1 - sin(x) + 1)

1 = 2cos(x)(1 - sin(x))

Теперь выразим cos(x):

cos(x) = 1 / (2(1 - sin(x)))

Теперь у нас есть выражение для cos(x). Чтобы найти общее решение исходного уравнения, мы должны найти y(x). Для этого подставим выражение для cos(x) в исходное уравнение:

y(1 - cos(x)) = ycos(x)(1 - sin(x))

y(1 - 1 / (2(1 - sin(x)))) = y(1 / (2(1 - sin(x))))(1 - sin(x))

Теперь упростим:

y - y / (2(1 - sin(x))) = y / (2(1 - sin(x))) - y / (2(1 - sin(x)))sin(x)

y - y / (2(1 - sin(x))) = y(1 - sin(x)) / (2(1 - sin(x)))

Теперь выразим y:

y - y = y(1 - sin(x))

0 = y(1 - sin(x))

Таким образом, общее решение уравнения:

y(x) = C(1 - sin(x))

где C - произвольная постоянная.