Question

Найти интеграл от -1 до 0 (1/2x^2-x+5)dx

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение: смотри фотку

Answer 2

Для нахождения интеграла от данной функции $f(x) = \frac{1}{2}x^2 - x + 5$ на интервале от -1 до 0, следует выполнить следующие шаги:

1. Найдем первообразную $F(x)$ функции $f(x)$, что равносильно нахождению интеграла функции $f(x)$.
2. Вычислим разность $F(0) - F(-1)$ для определения значения интеграла на заданном интервале.

Таким образом, начнем с нахождения первообразной $F(x)$:

Интегрирование $x^n$ даёт $\frac{1}{n+1} x^{n+1} + C$, где $n \neq -1$.

1. Интегрирование $\frac{1}{2}x^2$ даёт $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} x^3 + C_1 = \frac{1}{6} x^3 + C_1$, где $C_1$ — постоянная интегрирования.

2. Интегрирование $-x$ даёт $-\frac{1}{2} x^2 + C_2$, где $C_2$ — постоянная интегрирования.

3. Интегрирование константы $5$ даёт $5x + C_3$, где $C_3$ — постоянная интегрирования.

Теперь соединим все результаты:

$F(x) = \frac{1}{6} x^3 - \frac{1}{2} x^2 + 5x + C$

Теперь найдем значение интеграла на интервале от -1 до 0:

$\int_{-1}^{0} \left(\frac{1}{2}x^2 - x + 5\right) dx = F(0) - F(-1)$

$= \left(\frac{1}{6} \cdot 0^3 - \frac{1}{2} \cdot 0^2 + 5 \cdot 0\right) - \left(\frac{1}{6} \cdot (-1)^3 - \frac{1}{2} \cdot (-1)^2 + 5 \cdot (-1)\right)$

$= (0 - 0 + 0) - \left(-\frac{1}{6} + \frac{1}{2} - 5\right)$

$= 0 + \frac{1}{6} - \frac{1}{2} + 5$

$= \frac{1}{6} - \frac{1}{2} + \frac{30}{6}$

$= -\frac{1}{3} + \frac{30}{6}$

$= -\frac{1}{3} + 5$

$= \frac{14}{3}$