Question

Равнобедренный треугольник, периметр которого равен 12, вращается вокруг основания. Найти основание а, при котором полученное тело вращения имеет набольший объем?

Answer 1

Решение Силой Разума.  Чем ближе фигура к шару, кубу -тем больше у неё объем. Так же, как из всех прямоугольников наибольшую площадь имеет квадрат. Делаем вывод - сечение фигуры должно быть квадратом, а треугольник и равнобедренным и прямоугольным. Рисунок к задаче в приложении. Треугольник вращается вокруг своей гипотенузы - с.

Катеты треугольника - а, а основание - гипотенуза - с = √2*а.

Периметр: а + а + √2*а = 12  - равнобедренный треугольник.

а = 12 : (2 + √2) ≈ 12 : 3,414 ≈ 3,515 - катеты треугольника

с = а*√2 = 4,97 - основание - ответ.

А сам объём и вычислять не надо, но продолжим.

Фигура - два конуса. R = H = c/2 = 2.485

Объём конуса по формуле:

V1 = 1/3*π*R²*H = 1/3*π*2.485³ ≈ 16.07 - половина фигуры.

V = 2*V1 ≈  32.1 (ед³) - объём.

У кого получится больше - напишите.

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте разберемся с некоторыми известными фактами о вращении фигур и объеме тел вращения.

1. Равнобедренный треугольник: Это треугольник, у которого две стороны равны друг другу (основание и одна из боковых сторон) и два соответствующих угла равны.

2. Тело вращения: Когда фигура вращается вокруг одной из своих осей, она образует тело вращения. В данной задаче треугольник будет вращаться вокруг своего основания.

3. Объем тела вращения: Объем тела вращения можно найти, используя интегралы.

Давайте обозначим длину основания треугольника равнобедренного треугольника как "а". Тогда длина каждой из равных сторон также будет равна "а" (так как периметр треугольника равен 12).

Обозначим высоту треугольника как "h" и найдем ее, используя теорему Пифагора. Рассмотрим треугольник с двумя равными сторонами "а" и одной стороной "h":

(1) h^2 + (a/2)^2 = a^2

(2) h^2 = a^2 - (a/2)^2

(3) h^2 = 3a^2/4

(4) h = √(3a^2)/2 = (a√3)/2

Теперь, чтобы найти объем тела вращения, сформулируем интеграл для объема, когда фигура вращается вокруг основания (ось "x"):

(5) V = ∫[от a до 0] [площадь поперечного сечения] dx

(6) V = ∫[от a до 0] [(площадь круга с радиусом x) - (площадь треугольника с основанием a и высотой h)] dx

(7) V = ∫[от a до 0] [(πx^2) - (ah)] dx

(8) V = ∫[от a до 0] [(πx^2) - ((a√3)/2)x] dx

Теперь возьмем производную от V по "a" и найдем точку экстремума (где производная равна нулю) для определения максимального объема.

(9) dV/da = ∫[от a до 0] [(2πx) - (√3/2)x] dx

(10) dV/da = ∫[от a до 0] [(2π - √3/2)x] dx

(11) dV/da = [(2π - √3/2) * (x^2/2)] [от a до 0]

(12) dV/da = (π - (√3/4)) * a^2

Теперь приравняем dV/da к нулю:

(π - (√3/4)) * a^2 = 0

Таким образом, a = 0 (это не имеет смысла в данной задаче) или

a = √(3/4) * (1/π)

a ≈ 0.6204

Таким образом, основание "а", при котором полученное тело вращения имеет наибольший объем, примерно равно 0.6204.