Question

Помогите решить функцию. Найти наибольшее и наименьшее значение. (С решением) 1f(x)=x^3-6x^2+9x-15 на отрезке [0;6] 2) y=x^3-3x на отрезке [0;3]

Answer 1

Даны функции:

1)  f(x)=x^3-6x^2+9x-15 на отрезке [0;6]

2) y=x^3-3x на отрезке [0;3]

Найти наибольшее и наименьшее значение.

1) y' = 3x² - 12x + 9. приравниваем нулю:

3x² - 12x + 9 = 0    или x² - 4x + 3 = 0.   Д = 16 - 4*1*3 = 4.

х = (4 +- 2)/2 = 3; 1.

Определяем знаки производной на промежутках:

х =     0     1      2     3      4

y' =   9 0 -3 0 9 .

В точке х = 1 имеем максимум, у = -11, а в точке х = 3 минимум, у = -15. Это локальные экстремумы. Найдём значения функции в крайних точках заданного промежутка [0;6].

х = 0, у = -15,

х = 6,  у = 39.

Наибольшее и наименьшее значения: 39 и -15.

2) y' =3x² - 3 = 3(x² - 1)= 0.   x = +-1.

x =       -2      -1       0        1        2

y' =       9      0       -3 0   9 .

В точке х = -1 максимум, у = 2,  в точке х = 1 минимум, у = -2. Это локальные экстремумы. Найдём значения функции в крайних точках заданного промежутка [0;3].

х = 0,  у = 0,

х = 3,  у = 18.

Наибольшее и наименьшее значения: 18 и -2.

Answer 2

Для решения задачи о нахождении наибольшего и наименьшего значения функции на заданном отрезке, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти критические точки функции внутри отрезка и на его концах (то есть, точки, где производная функции равна нулю или точки, где функция может быть неопределена).
2. Вычислить значения функции в найденных критических точках и на концах отрезка.
3. Сравнить найденные значения и определить наибольшее и наименьшее.

Давайте применим этот метод к обеим функциям.

1. Функция f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 15 на отрезке [0;6]:

a) Найдем производную функции f(x): f'(x) = d/dx (x^3 - 6x^2 + 9x - 15) = 3x^2 - 12x + 9.

b) Найдем критические точки, приравнивая производную к нулю: 3x^2 - 12x + 9 = 0.

c) Решим уравнение для x: 3(x^2 - 4x + 3) = 0, 3(x - 3)(x - 1) = 0.

Таким образом, получаем две критические точки: x = 3 и x = 1.

d) Проверим значения функции в найденных критических точках и на концах отрезка: f(0) = 0^3 - 6 * 0^2 + 9 * 0 - 15 = -15, f(1) = 1^3 - 6 * 1^2 + 9 * 1 - 15 = -11, f(3) = 3^3 - 6 * 3^2 + 9 * 3 - 15 = 12, f(6) = 6^3 - 6 * 6^2 + 9 * 6 - 15 = 99.

e) Находим наибольшее и наименьшее значение функции: Минимальное значение: -15 (достигается в точке x = 0), Максимальное значение: 99 (достигается в точке x = 6).

2. Функция y = x^3 - 3x на отрезке [0;3]:

a) Найдем производную функции y: y' = d/dx (x^3 - 3x) = 3x^2 - 3.

b) Найдем критические точки, приравнивая производную к нулю: 3x^2 - 3 = 0.

c) Решим уравнение для x: 3(x^2 - 1) = 0, 3(x - 1)(x + 1) = 0.

Таким образом, получаем две критические точки: x = 1 и x = -1.

d) Проверим значения функции в найденных критических точках и на концах отрезка: y(0) = 0^3 - 3 * 0 = 0, y(-1) = (-1)^3 - 3 * (-1) = -2, y(1) = 1^3 - 3 * 1 = -2, y(3) = 3^3 - 3 * 3 = 18.

e) Находим наибольшее и наименьшее значение функции: Минимальное значение: -2 (достигается в точках x = -1 и x = 1), Максимальное значение: 18 (достигается в точке x = 3).

Таким образом, на отрезке [0;6] функция f(x)=x^3-6x^2+9x-15 принимает наименьшее значение -15 в точке x = 0 и наибольшее значение 99 в точке x = 6. А функция y=x^3-3x на отрезке [0;3] принимает наименьшее значение -2 в точках x = -1 и x = 1, а наибольшее значение 18 в точке x = 3.