Question

Найдите площадь фигуры ограниченной графиками функций y=x^2+1 и y=x+1

Answer 1

Дано: F(x)= x²+ 1,  y(x)= x+1

Найти: S=? - площадь фигуры

Пошаговое объяснение:

1) Находим точки пересечения графиков решив: y(x) - F(x) = 0.

-x²+x = -x*(x-1) =0 - квадратное уравнение

a = 1- верхний предел, b = 0- нижний предел.

2) Площадь - интеграл разности функций.

s(x) = x - x² - подинтегральная функция

3) Интегрируем функцию и получаем:

S(x) = 1/2*x² -1/3*x³

4) Вычисляем на границах интегрирования.

S(а) = (1) = 0+0,5+-0,33 = 0,17

S(b) = S(0) =0+0+0 = 0

 S = S(1)- S(0)  = 0,17 - площадь - ответ

Рисунок к задаче в приложении.

Answer 2

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций y=x^2+1 и y=x+1, необходимо найти точки их пересечения и затем вычислить определенный интеграл между этими точками.

Сначала найдем точки пересечения функций, приравняв их:

x^2 + 1 = x + 1

Теперь перенесем все в одну сторону:

x^2 - x = 0

Факторизуем левую сторону:

x(x - 1) = 0

Таким образом, получаем две точки пересечения: x = 0 и x = 1.

Теперь мы можем вычислить площадь между графиками функций от x = 0 до x = 1, используя определенный интеграл:

Площадь = ∫[a, b] (верхняя функция - нижняя функция) dx

где a и b - это точки пересечения, то есть a = 0 и b = 1.

Площадь = ∫[0, 1] (x + 1 - x^2 - 1) dx Площадь = ∫[0, 1] (x - x^2) dx

Теперь найдем интеграл:

Площадь = [x^2/2 - x^3/3] |[0, 1] Площадь = [(1/2) - (1/3)] - [0] Площадь = (1/2) - (1/3) Площадь = 1/6

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиками функций y=x^2+1 и y=x+1, равна 1/6 квадратных единицы.