Question

Y=x3-3x2-12x-1 Исследовать и построить график функции y=f(x)

Answer 1

Исследование функции у = х³ - 3х² - 12х - 1, её график  и таблица точек для построения приведены в приложении (страница 10).

Answer 2

Для исследования функции $y = f(x) = x^3 - 3x^2 - 12x - 1$ находим производные и точки экстремумов, а также анализируем поведение функции на интервалах. Затем построим график функции.

Шаг 1: Найдем производные функции $f(x)$. $f'(x) = 3x^2 - 6x - 12$ (первая производная) $f''(x) = 6x - 6$ (вторая производная)

Шаг 2: Найдем критические точки, где $f'(x) = 0$. $3x^2 - 6x - 12 = 0$ $x^2 - 2x - 4 = 0$

Решим квадратное уравнение: $x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2 \cdot 1}$ $x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2}$ $x = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2}$ $x = 1 \pm \sqrt{5}$

Таким образом, у нас есть две критические точки $x_1 = 1 + \sqrt{5}$ и $x_2 = 1 - \sqrt{5}$.

Шаг 3: Найдем значения второй производной $f''(x)$ в этих критических точках, чтобы определить их тип.

$f''(1 + \sqrt{5}) = 6 \cdot (1 + \sqrt{5}) - 6 \approx 10.39 > 0$, что означает, что это точка минимума. $f''(1 - \sqrt{5}) = 6 \cdot (1 - \sqrt{5}) - 6 \approx -2.39 < 0$, что означает, что это точка максимума.

Шаг 4: Найдем значение функции в найденных критических точках и находим значения функции на бесконечностях.

$f(1 + \sqrt{5}) = (1 + \sqrt{5})^3 - 3(1 + \sqrt{5})^2 - 12(1 + \sqrt{5}) - 1 \approx -23.92$ $f(1 - \sqrt{5}) = (1 - \sqrt{5})^3 - 3(1 - \sqrt{5})^2 - 12(1 - \sqrt{5}) - 1 \approx 8.92$

При $x \to \infty$