Question

Доказать, что разница между кубом любого числа и самим числом делится на 6​

Answer 1

Пусть а - число.
а^3 - а = а•(а^2 - 1) = а•(а + 1)•(а - 1) =
= (а-1)•а•(а+1)

После преобразования исходного выражения мы получили произведение трех последовательных натуральных чисел.

Любое из трех последовательных натуральных чисел кратно 3, то есть делится на 3.
Посудите сами:
1, 2, 3
4, 5, 6
7, 8, 9
...
111, 112, 113 и т.д.

Среди трех последовательных натуральных чисел, по меньшей мере одно четное, то есть делится на 2.
Посудите сами:
5, 6, 7
или
92, 93, 94

Следовательно, разность между кубом любого числа и самим числом кратна 3, то есть делится на 6.

Answer 2

Давайте докажем данное утверждение для произвольного целого числа n.

Утверждение: Разница между кубом любого числа n и самим числом n делится на 6, то есть (n^3 - n) делится на 6.

Для начала, давайте представим n^3 - n как произведение (n-1), n и (n+1):

n^3 - n = n(n^2 - 1) = n(n - 1)(n + 1)

Теперь заметим, что три последовательных целых числа n-1, n и n+1 обязательно будут кратными разным числам. Например, одно из этих чисел будет кратно 2 (так как оно четное), и другое — кратно 3 (так как оно делится на 3, но не делится на 2). Таким образом, произведение трех последовательных целых чисел всегда будет кратно 2 и 3, а значит, будет кратно их произведению:

n(n - 1)(n + 1) кратно (2 * 3) = 6

Следовательно, (n^3 - n) делится на 6. Таким образом, доказано, что разница между кубом любого числа и самим числом делится на 6.