Question

В произвольном четырехугольнике, диагонали которого перпендикулярны, последовательно соединили середины сторон. а) докажите, что полученная фигура будет являться прямоугольником. б) найдите периметр и площадь полученного прямоугольника, если диагонали исходного четырехугольника равны 5 см и 10 см.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для начала, докажем первую часть задачи:

а) Докажем, что полученная фигура будет прямоугольником.

Пусть у нас есть четырехугольник ABCD, и его диагонали AC и BD перпендикулярны. Обозначим точки M, N, P и Q как середины сторон AB, BC, CD и DA соответственно.

Теперь рассмотрим треугольники AMC и BMD. У нас есть следующие факты:

1. Диагонали AC и BD перпендикулярны, следовательно, угол AMC и угол BMD являются прямыми углами.
2. Точки M и N - середины сторон AB и BC, поэтому AM = MB и BN = NC.

Из этих фактов следует, что треугольники AMC и BMD равнобедренные, так как у них по две равные стороны.

Теперь обратим внимание на треугольники CNB и CMA. У нас есть:

1. Диагонали AC и BD перпендикулярны, поэтому угол CNB и угол CMA тоже прямые углы.
2. Точки N и P - середины сторон BC и CD, поэтому BN = NC и CP = PD.

Из этих фактов следует, что треугольники CNB и CMA равнобедренные, так как у них по две равные стороны.

Теперь рассмотрим треугольники CPD и AQB. У нас есть:

1. Диагонали AC и BD перпендикулярны, поэтому угол CPD и угол AQB также являются прямыми углами.
2. Точки Q и P - середины сторон DA и CD, поэтому AQ = QD и CP = PD.

Из этих фактов следует, что треугольники CPD и AQB равнобедренные, так как у них по две равные стороны.

Теперь у нас есть следующая ситуация: четыре треугольника AMC, BMD, CNB и CMA являются равнобедренными, так как у каждого из них по две равные стороны. Это означает, что углы AMB, BNC, CMC и AMD тоже равны, так как это углы оснований равнобедренных треугольников.

Теперь рассмотрим угол AMB. Мы знаем, что угол AMC и угол BMD являются прямыми углами, и углы AMB, BNC, CMC и AMD равны. Значит, сумма углов AMB, BNC, CMC и AMD составляет 360 градусов, так как это сумма углов четырехугольника.

Так как AMB, BNC, CMC и AMD образуют 360 градусов, и угол AMB равен углу CMC (они соответственные углы равнобедренных треугольников), то BNC и AMD также равны (они вертикальные углы). Аналогично, углы CNB и CMA равны. Таким образом, полученная фигура BNCM является прямоугольником, так как у него все углы равны 90 градусов.

б) Найдем периметр и площадь полученного прямоугольника.

Из доказанного выше следует, что полученный прямоугольник имеет стороны, равные половинам диагоналей исходного четырехугольника.

Для данной задачи, диагонали исходного четырехугольника равны 5 см и 10 см.

1. Периметр прямоугольника: Пусть a и b - стороны прямоугольника (половины диагоналей исходного четырехугольника). a = 5 см / 2 = 2.5 см b = 10 см / 2 = 5 см

Периметр прямоугольника P = 2(a + b) = 2(2.5 см + 5 см) = 2(7.5 см) = 15 см

2. Площадь прямоугольника: Площадь прямоугольника S = a * b = 2.5 см * 5 см = 12.5 см²

Таким образом, полученный прямоугольник имеет периметр 15 см и площадь 12.5 см².