Question

укажите уравнение,корнямии которого являются числа 1+v5 и 1-v5. а)х²+2х-4=0;б)х²-2х-4=0;в)х²-2х+4=0;г)х²+4х+2=0;

Answer 1

А) Д=4+16=20
$x = \frac{ - 2 + - 2 \sqrt{5} }{2}$
Не подходит, т.к. даже при сокращении корни будут с минусом.

б) Д= 4+16=20
$x = \frac{ 2 + - 2 \sqrt{5} }{2}$
При сокращении получятся нужные нам ответы

в) Д=2-16=-14 Д<0 решений нет.

г)Д=16-8=8, а при вынесении из-под корня это даст
$2 \sqrt{2}$
, что, соответственно, не походит нам по условию.

Ответ: 2.

Answer 2

Чтобы уравнение имело корнями числа 1+√5 и 1-√5, необходимо, чтобы эти числа были корнями квадратного уравнения. Вспомним, как получить уравнение, зная его корни.

Пусть у нас есть квадратное уравнение вида:

ax² + bx + c = 0

Если у нас есть два корня α и β, то уравнение может быть записано в виде:

(x - α)(x - β) = 0

где α и β - корни уравнения.

a) х² + 2х - 4 = 0

Это уравнение не имеет корней 1+√5 и 1-√5. Так как дискриминант D этого уравнения равен:

D = b² - 4ac = 2² - 4(1)(-4) = 20

И так как D не является квадратом целого числа, то уравнение не имеет корней вещественных.

б) х² - 2х - 4 = 0

Это уравнение не имеет корней 1+√5 и 1-√5. Так как дискриминант D этого уравнения равен:

D = b² - 4ac = (-2)² - 4(1)(-4) = 20

И так как D не является квадратом целого числа, то уравнение не имеет корней вещественных.

в) х² - 2х + 4 = 0

Это уравнение не имеет корней 1+√5 и 1-√5. Так как дискриминант D этого уравнения равен:

D = b² - 4ac = (-2)² - 4(1)(4) = -12

И так как D отрицательное число, то уравнение не имеет корней вещественных.

г) х² + 4х + 2 = 0

Это уравнение имеет корни 1+√5 и 1-√5. Так как дискриминант D этого уравнения равен:

D = b² - 4ac = 4² - 4(1)(2) = 8

И так как D является квадратом целого числа (8 = 2²), то уравнение имеет два вещественных корня.

Таким образом, уравнением, корнями которого являются числа 1+√5 и 1-√5, является г) х² + 4х + 2 = 0.