Question

Найти оющее решение уравнений 2x y'+ y=x

Answer 1

K+1x=0

K=-1x

y=(C¹x+C²)e^-1x

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение является уравнением первого порядка и может быть решено методом разделения переменных. Давайте найдем общее решение этого уравнения.

Уравнение: 2x y' + y = x

Для начала, перепишем уравнение в стандартной форме для уравнений первого порядка:

y' + (1/2x) y = (1/2)

Теперь решим это уравнение. Сначала найдем интегральный множитель (множитель, на который умножается всё уравнение для его приведения к полной производной).

Интегральный множитель (M) вычисляется как экспонента от интеграла коэффициента при y:

M = e^(∫(1/2x)dx) = e^(1/2 * ln|x|) = e^(ln|x^(1/2)|) = |x^(1/2)|

Теперь умножим исходное уравнение на интегральный множитель:

|x^(1/2)| * y' + (1/2x)|x^(1/2)| * y = (1/2)|x^(1/2)|

Теперь левую часть уравнения можно переписать как производную от произведения интегрального множителя и функции y:

d/dx (|x^(1/2)| * y) = (1/2)|x^(1/2)|

Теперь проинтегрируем обе стороны уравнения по x:

∫d/dx (|x^(1/2)| * y) dx = ∫(1/2)|x^(1/2)| dx

|x^(1/2)| * y = (1/2) ∫|x^(1/2)| dx

Теперь найдем интеграл:

∫|x^(1/2)| dx = ∫x^(1/2) dx, при x >= 0 = ∫-x^(1/2) dx, при x < 0

∫x^(1/2) dx = (2/3) * x^(3/2) + C1, при x >= 0 ∫-x^(1/2) dx = -(2/3) * x^(3/2) + C2, при x < 0

где C1 и C2 - произвольные постоянные интегрирования.

Теперь вернемся к уравнению:

|x^(1/2)| * y = (1/2) ∫|x^(1/2)| dx

Подставим значения интегралов:

При x >= 0: x^(1/2) * y = (1/2) * (2/3) * x^(3/2) + C1 x^(1/2) * y = (1/3) * x^(3/2) + C1

При x < 0: -x^(1/2) * y = (1/2) * -(2/3) * x^(3/2) + C2 -x^(1/2) * y = (1/3) * x^(3/2) + C2

Теперь выразим y:

При x >= 0: y = (1/3) * x + C1 * x^(-1/2)

При x < 0: y = (1/3) * x + C2 * x^(-1/2)

Таким образом, общее решение уравнения 2x y' + y = x имеет две компоненты, в зависимости от знака x:

y = (1/3) * x + C1 * x^(-1/2), где x >= 0 y = (1/3) * x + C2 * x^(-1/2), где x < 0

где C1 и C2 - произвольные постоянные. Это и есть общее решение данного дифференциального уравнения.