Question

Помогите решить линейное однородное дифференциальное уравнение с заданными начальными условиями y''-10y'+25y=0, y(0)=1,y'(0)=3

Answer 1

Ответ:

Общее решение

 $y=C_1e^{5x}+C_2xe^{5x}$

Частное решение

$y=e^{5x}-2e^{5x}$

Пошаговое объяснение:

линейное однородное дифференциальное уравнение с заданными начальными условиями

                       y'' - 10y' + 25y = 0,                                y(0)=1,y'(0)=3

Запишем характеристическое уравнение k² - 10 ⋅ k + 25 = 0. Найдем его корни

                       k² - 10 ⋅ k + 25 = 0

                       k² - 2·5⋅ k + 5² = 0

                                    (k - 5)² = 0

                   k₁ = k₂ = 5

Получили два совпадающих корня, следовательно, общее решение имеет вид

              $y=C_1e^{5x}+C_2xe^{5x}$

Для нахождения частного решения найдем производную функции

$y'=5C_1e^{5x}+C_2e^{5x}+5C_2xe^{5x}$

Подставляем начальные условия в функцию и ее производную

$y(0)=C_1e^{5\cdot0}+C_2\cdot0\cdot e^{5\cdot0}=C_1$

Из начальных условий у(0) =1

Следовательно С₁ = 1

$y'(0)=5C_1e^{5\cdot0}+C_2e^{5\cdot0}+5C_2\cdot0\cdot e^{5\cdot0}=5C_1+C_2$

Из начальных условий y'(0)=3

Следовательно  5С₁ +С₂ = 3

                             С₂ = 3 - 5·1

                             С₂ = -2

Запишем частное решение уравнения

$y=e^{5x}-2e^{5x}$

Answer 2

Для решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами y'' - 10y' + 25y = 0, сначала найдем характеристическое уравнение.

Характеристическое уравнение получается из исходного уравнения заменой y = e^(rt), где r - неизвестная константа:

r^2 - 10r + 25 = 0

Теперь найдем корни этого квадратного уравнения:

r = (10 ± √(10^2 - 4125)) / 2 r = (10 ± √(100 - 100)) / 2 r = (10 ± 0) / 2 r1 = r2 = 5

Так как у нас есть два одинаковых корня r1 и r2, то общее решение имеет вид:

y(t) = c1 * e^(r1t) + c2 * t * e^(r2t)

где c1 и c2 - произвольные постоянные.

Теперь подставим начальные условия, чтобы определить значения этих постоянных:

1. y(0) = 1:

1 = c1 * e^(50) + c2 * 0 * e^(50) 1 = c1

2. y'(0) = 3:

0 = r1 * c1 + (c2 * e^(50) + c2 * 0 * 5 * e^(50)) 0 = 5 * c1 + c2 * 0 0 = 5 * c1

Теперь зная, что c1 = 1, рассчитаем c2:

c2 = 0

Таким образом, окончательное решение исходного дифференциального уравнения с начальными условиями y(0) = 1 и y'(0) = 3:

y(t) = e^(5*t)