Question

1. Найдите экстремумы функции f(x)=15x^(3)-15x^(2) 2. Вычислить интеграл \int_2^3 (x^(2)-4x+1)dx 3.Найти производную y-x^(3)-3e^(x)

Answer 1

Пошаговое объяснение:

1. Дано : f(x) = 15x³ - 15*x²

Экстремумы в корнях первой производной.

1) f'(x) = 15*3*x² - 15*2*x = 0 - квадратное уравнение.

После упрощения - делим на 15 и выносим Х за скобки.

2) f'(x) = 3x²-2x = x*(x - 2/3 x) = 0 - разложили на множители.

Корни: х1 =0 и х2 = 2/3

Вычисляем сами экстремумы.

f(0) = 0 - максимум - ответ

f( 2/3) = - 2 2/9 - минимум - ответ (≈-2.22)  

2. Вычислить  интеграл.

$F(x)=\int\limits^3_2 {(1-4x+x^2}) \, dx=\frac{x}{1}-\frac{4x^2}{2}+\frac{x^3}{3}$

Вычисляем на границах интегрирования.

F(3) = 3 - 2*9 + 27/3 = =  -6

F(2) = - 10/3

F = F(3) - F(2) = - 8/3 = - 2 2/3 - интеграл - ответ.

3. Производная от y(x) = x³ - 3*eˣ

y'(x) = (x³)' + (-3*eˣ)' = 3*x² - 3*eˣ - ответ

Answer 2

1. Найдем экстремумы функции f(x) = 15x^3 - 15x^2:

Для этого найдем производную функции и приравняем ее к нулю:

f'(x) = d/dx (15x^3 - 15x^2) f'(x) = 45x^2 - 30x

Теперь приравниваем производную к нулю и решим уравнение:

0 = 45x^2 - 30x

Факторизуем уравнение:

0 = 15x(3x - 2)

Теперь находим значения x, при которых производная равна нулю:

1. 15x = 0 => x = 0
2. 3x - 2 = 0 => 3x = 2 => x = 2/3

Теперь найдем вторую производную и определим характер экстремумов:

f''(x) = d^2/dx^2 (15x^3 - 15x^2) f''(x) = 90x - 30

Подставим найденные значения x во вторую производную:

1. x = 0: f''(0) = 90 * 0 - 30 = -30

2. x = 2/3: f''(2/3) = 90 * (2/3) - 30 = 60 - 30 = 30

Анализируем результаты:

• Если f''(x) > 0, то это минимум функции.
• Если f''(x) < 0, то это максимум функции.
• Если f''(x) = 0, то тест не дает определенного результата.

Таким образом, у нас есть:

• Один минимум при x = 2/3.
• Один тест, который не дает определенного результата при x = 0.

2. Вычислим интеграл ∫(x^2 - 4x + 1)dx от 2 до 3:

∫(x^2 - 4x + 1)dx = (1/3)x^3 - 2x^2 + x + C

Теперь найдем определенный интеграл:

∫[2, 3] (x^2 - 4x + 1)dx = [(1/3) * 3^3 - 2 * 3^2 + 3] - [(1/3) * 2^3 - 2 * 2^2 + 2] = [9 - 18 + 3] - [8 - 8 + 2] = -6 - (8 - 8 + 2) = -6 - 2 = -8

3. Найдем производную функции y - x^3 - 3e^x по переменной x:

dy/dx = d/dx(y) - d/dx(x^3) - d/dx(3e^x)

Так как y - константа, ее производная по x равна нулю:

dy/dx = - d/dx(x^3) - d/dx(3e^x)

Теперь найдем производные оставшихся слагаемых:

d/dx(x^3) = 3x^2

d/dx(3e^x) = 3 * d/dx(e^x) = 3 * e^x

Теперь объединим все производные:

dy/dx = 3x^2 - 3e^x

Итак, производная функции y - x^3 - 3e^x по переменной x равна 3x^2 - 3e^x.