Question

Найти первообразную для функции f (x), проходящей через точку М 1. f (x) = x^3/2 + 6, M (2;8)

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Чтобы найти первообразную функции f(x), необходимо найти функцию F(x) такую, что её производная равна f(x). То есть F'(x) = f(x).

Для функции f(x) = x^(3/2) + 6, найдем первообразную, используя правила интегрирования:

∫(x^(3/2) + 6) dx

Для первого слагаемого, интегрируем x^(3/2): ∫x^(3/2) dx = (2/5)x^(5/2) + C₁

Здесь C₁ - произвольная постоянная интегрирования.

Для второго слагаемого, интегрируем константу 6: ∫6 dx = 6x + C₂

Здесь C₂ - еще одна произвольная постоянная интегрирования.

Теперь объединим результаты: F(x) = (2/5)x^(5/2) + 6x + C,

где C = C₁ + C₂ - это финальная постоянная интегрирования.

Теперь найдем значение C, используя условие, что функция проходит через точку M(2;8): F(2) = (2/5)(2)^(5/2) + 6(2) + C = 8.

Подставим значение x=2 и y=8 и решим уравнение для C:

(2/5)2^(5/2) + 62 + C = 8 (2/5)sqrt(32) + 12 + C = 8 (2/5)(4*sqrt(2)) + 12 + C = 8 (8/5)*sqrt(2) + 12 + C = 8 C = 8 - (8/5)*sqrt(2) - 12 C = -4 - (8/5)*sqrt(2)

Таким образом, окончательная первообразная функции f(x) равна: F(x) = (2/5)x^(5/2) + 6x - 4 - (8/5)*sqrt(2).