Question

F(x)=(x^2+3)/(x+1) найдите точки экстремума функции

Answer 1

найдем производную:

$\frac{d}{dx} ( \frac{ {x}^{2} + 3}{x + 1} ) = \frac{ {x}^{2} + 2x - 3 }{(x + 1)^{2} }$

решаем уравнение:

х = -3, х = 1

разобьём на интервалы: (-∞, -3), (-3, -1), (-1, 1), (1, +∞)

-1 — выколотая точка знаменателя

определим знает производной:

1. х = -1000 — знак: +
2. х = -2 — знак: -
3. х = 0 — знак: -
4. х = 1000 — знак: +

значит, от минус бесконечности до -3 функция возрастала

от -3 до -1 убывала

от -1 до 1 убывала

от 1 до плюс бесконечности возрастала

отсюда х = -3 — максимум функции (у = -6)

х = 1 — минимум функции (у = 2)

Answer 2

Чтобы найти точки экстремума функции F(x), нужно найти значения x, при которых производная функции равна нулю. Точки, где производная равна нулю, могут быть точками минимума или максимума функции.

Давайте найдем производную функции F(x) с помощью правила дифференцирования для частных производных:

F(x) = (x^2 + 3)/(x + 1)

Производная F'(x):

F'(x) = [(x + 1)*(2x) - (x^2 + 3)*1] / (x + 1)^2 F'(x) = (2x^2 + 2x - x^2 - 3) / (x + 1)^2 F'(x) = (x^2 + 2x - 3) / (x + 1)^2

Теперь найдем точки, где производная равна нулю:

F'(x) = 0 (x^2 + 2x - 3) / (x + 1)^2 = 0

Так как дробь равна нулю, то числитель должен быть равен нулю:

x^2 + 2x - 3 = 0

Теперь решим квадратное уравнение:

x^2 + 2x - 3 = (x + 3)(x - 1) = 0

Таким образом, получаем два значения x: x = -3 и x = 1.

Теперь осталось проверить, являются ли эти точки точками минимума или максимума. Для этого можно построить таблицу знаков производной в окрестности каждой точки.

Подставим значения x = -3 и x = 1 в производную F'(x):

При x = -3:

F'(-3) = (-3^2 + 2*(-3) - 3) / (-3 + 1)^2 = (-9 - 6 - 3) / 4 = -18 / 4 = -4.5

При x = 1:

F'(1) = (1^2 + 2*1 - 3) / (1 + 1)^2 = (1 + 2 - 3) / 4 = 0

Из таблицы знаков производной видно, что около x = -3 производная меняет знак с отрицательного на положительный, что означает, что у нас есть локальный минимум в этой точке.

Около x = 1 производная равна нулю, и далее меняет знак с положительного на отрицательный, что означает, что у нас есть локальный максимум в этой точке.

Итак, точки экстремума функции F(x) равны:

1. x = -3 (локальный минимум)
2. x = 1 (локальный максимум)