Question

Найти производную функцию!!! x^2/х^3+1

Answer 1

$\frac{x {}^{2} }{x {}^{3} + 1 } = \frac{2x(x {}^{3} + 1) - x {}^{2}(3x {}^{2} + 0) }{(x {}^{3} + 1) {}^{2} } = \frac{2x {}^{4} + 2x - 3x {}^{4} }{(x {}^{3} + 1) {}^{2} } = \frac{ - x {}^{4} + 2x }{(x {}^{3} + 1) {}^{2} }$

Answer 2

Для нахождения производной функции $f(x) = \frac{x^2}{x^3 + 1}$ по переменной $x$, применим правила дифференцирования. Для удобства, разложим функцию в виде $f(x) = x^2 \cdot (x^3 + 1)^{-1}$.

Теперь вычислим производную:

1. Применяем правило производной произведения: $\frac{d}{dx}[x^2 \cdot (x^3 + 1)^{-1}] = x^2 \cdot \frac{d}{dx}[(x^3 + 1)^{-1}] + (x^3 + 1)^{-1} \cdot \frac{d}{dx}[x^2]$.

2. Вычислим производную от $x^2$ и $(x^3 + 1)^{-1}$: $\frac{d}{dx}[x^2] = 2x$ (производная от $x^2$). $\frac{d}{dx}[(x^3 + 1)^{-1}] = -\frac{1}{(x^3 + 1)^2} \cdot \frac{d}{dx}[x^3 + 1]$.

3. Найдем производную от $x^3 + 1$: $\frac{d}{dx}[x^3 + 1] = 3x^2$ (производная от $x^3$).

4. Подставим результаты обратно: $\frac{d}{dx}[x^2 \cdot (x^3 + 1)^{-1}] = x^2 \cdot \left(-\frac{1}{(x^3 + 1)^2} \cdot 3x^2\right) + (x^3 + 1)^{-1} \cdot 2x$.

5. Упростим выражение: $\frac{d}{dx}[x^2 \cdot (x^3 + 1)^{-1}] = -\frac{3x^4}{(x^3 + 1)^2} + \frac{2x}{x^3 + 1}$.

Таким образом, производная функции $f(x) = \frac{x^2}{x^3 + 1}$ равна $-\frac{3x^4}{(x^3 + 1)^2} + \frac{2x}{x^3 + 1}$.