Question

Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения xy'=√ (y^2)-(x^2)+y

Answer 1

Это диф. уравнение однородное, полагая у =ux, переходим к уравнению

х*(u шртих *х+u) =√(u²х²-u²)+uх

После очевидных сокращений на х

получим (u штрих)*x +u =√(u²-1)+u

(u штрих)*х=√(u²-1)

х*(дu/дх)=√(u²-1)

дu/(√(u²-1)=дх/х

∫дu/(√(u²-1)=∫дх/х

㏑модуля  (u+√(u²-1))=㏑модуля(х)+㏑модуля с, где с≠0,

откуда получаем (у/х+√(у²/х²-1))=㏑(хс)

Плюс  особое решение проверяем, если х=0, у=0(делили на х≠0)

Answer 2

Дано дифференциальное уравнение: xy' = √(y^2) - (x^2) + y

Для решения данного уравнения, давайте выполним несколько шагов.

Шаг 1: Перепишем уравнение, чтобы выразить y' в явном виде:

xy' = √(y^2) - (x^2) + y

y' = (√(y^2) - (x^2) + y) / x

Шаг 2: Введем новую переменную z = y^2, чтобы упростить уравнение:

y' = (√z - x^2 + y) / x

Шаг 3: Теперь дифференцируем выражение z = y^2 по x, чтобы получить z':

dz/dx = 2y * y'

Шаг 4: Подставим значение y' из исходного уравнения в dz/dx:

dz/dx = 2y * ((√z - x^2 + y) / x)

Шаг 5: Теперь разделим оба выражения на 2y и x:

(1/x) dz/dx = (√z - x^2 + y) / x^2

Шаг 6: Упростим:

(1/x) dz/dx = (√z / x^2) - x + (y / x^2)

Шаг 7: Заменим z на y^2:

(1/x) dz/dx = (√(y^2) / x^2) - x + (y / x^2)

(1/x) dz/dx = (y / x^2) - x + (y / x^2)

Шаг 8: Упростим выражение:

(1/x) dz/dx = y / x^2

Шаг 9: Теперь проинтегрируем обе стороны по отдельности:

∫(1/x) dz = ∫(y / x^2) dx

ln|z| = ∫(y / x^2) dx

Шаг 10: Проинтегрируем правую часть выражения:

ln|z| = ∫(y / x^2) dx

ln|z| = ∫(y * x^(-2)) dx

ln|z| = ∫y dx * ∫x^(-2) dx

ln|z| = yx^(-1) * (-x^(-1))

ln|z| = -y/x

Шаг 11: Теперь разрешим уравнение относительно z:

z = e^(-y/x)

Шаг 12: Вернемся к исходной переменной y:

y^2 = e^(-y/x)

y = ±√(e^(-y/x))

y = ±e^(-y/(2x))

Таким образом, общим решением данного дифференциального уравнения является:

y = Ce^(-y/(2x))

где C - произвольная постоянная.