Question

Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник ABC, касается его боковых сторон в точках E и F. Найдите периметр треугольника ABC, если его основание равно AC=12, а отрезок EF=3.

Answer 1

Ответ: 28

Пошаговое объяснение:

Пусть окружность касается основания в точке M,тогда из равенства отрезков касательных:

BM=MC=BE=CF=12/2=6.

Треугольник AEF подобен ABC, тк  из за симметрии треугольника ABC и симметрии вписанной в него окружности EF параллельно AB.  Пусть  AB=x

x/(x-6)=12/3=4

x=4*(x-6)

x=4x-24

3x=24

x=8

P=2x+12=16+12=28

Answer 2

АК = КС = АЕ = FC = 6 см как отрезки кассательных, проведённых к окружности с одной точки.

Пусть BF = EB = x см, тогда АВ = ВС = 6 + х см.

ΔАВС ~ ΔEBF (по основной т. подобия), отсюда имеем:

EF/АC = EB/AB;

3/12 = x/(6 + x);

3(6 + x) = 12x;

18 + 3x = 12x;

9x = 18;

x = 2.

Имеем: BF = EB = 2 см; АВ = ВС = 6 + 2 = 8 см; Р = АВ + ВС + АС = 2·8 + 12 = 16 + 12 = 28 см.

Ответ: 28 см.

Answer 3

Пусть треугольник ABC имеет равные боковые стороны и основание AC равно 12 единицам. Пусть также EF - отрезок, на котором окружность, вписанная в треугольник ABC, касается его боковых сторон.

Так как EF - это отрезок, на котором окружность касается боковых сторон треугольника ABC, то EF является высотой треугольника.

Теперь, давайте обозначим сторону треугольника ABC за a, а высоту EF за h.

Заметим, что треугольник AEF является подобным треугольнику ABC, так как у них углы сходятся, и два угла равны, так как они соответственные углы при касании окружности и сторон треугольника.

Таким образом, отношение сторон в подобных треугольниках равно:

a / 12 = h / 3

Теперь мы можем выразить "a" через "h":

a = (12 * h) / 3

a = 4h

Теперь у нас есть выражение для стороны "a" через высоту "h".

Так как треугольник ABC равнобедренный, то его периметр P можно выразить как:

P = a + a + AC

P = 4h + 4h + 12

P = 8h + 12

Теперь осталось найти значение высоты "h". Для этого заметим, что EF - это высота треугольника ABC из вершины A. Так как EF касается окружности, вписанной в треугольник, то она равна радиусу этой окружности. Таким образом, радиус окружности r равен 3.

Теперь, у нас есть формула для высоты h, как радиуса окружности:

h = r = 3

Теперь можем найти периметр треугольника ABC:

P = 8h + 12

P = 8 * 3 + 12

P = 24 + 12

P = 36

Таким образом, периметр треугольника ABC равен 36 единицам.