Question

Помогите пожалуйста Окружность вписанная в треугольник ABC, касается стороны AB в точке K и стороны BC в точке L, при этом AK:KB=1:2, BL:LC=3:2. Периметр треугольника равен 104. Чему равны стороны?

Answer 1

Ответ:

36 ; 40  ; 28

Объяснение:

Answer 2

Для решения данной задачи, давайте обозначим стороны треугольника ABC и радиус окружности вписанной в него.

Пусть: AK = x (часть стороны AB между точками A и K), KB = 2x (часть стороны AB между точками K и B), BL = 3y (часть стороны BC между точками B и L), LC = 2y (часть стороны BC между точками L и C).

Также пусть радиус окружности равен r.

Условие касания окружности и сторон треугольника гласит, что расстояние от центра окружности до любой из сторон треугольника равно радиусу окружности.

Теперь мы можем использовать свойство треугольника и составить уравнения:

1. Для треугольника ABK: x + 2x + r = AB (сумма сторон треугольника равна периметру).

2. Для треугольника BLC: 3y + 2y + r = BC.

Мы также знаем, что периметр треугольника ABC равен 104:

AB + BC + AC = 104.

Теперь найдем AC. Так как AK:KB = 1:2, то AC можно представить как 3x:

AC = AK + KB + BC AC = x + 2x + r AC = 3x.

Теперь мы имеем систему уравнений:

1. x + 2x + r = AB,
2. 3y + 2y + r = BC,
3. AB + BC + AC = 104,
4. AC = 3x.

Решим систему уравнений:

Сначала, используя уравнения 1 и 2, найдем AB и BC:

AB = 3x + r, BC = 5y + r.

Теперь, используя уравнение 3:

(3x + r) + (5y + r) + (3x) = 104, 6x + 5y + 2r = 104.

Теперь, используя уравнение 4:

AC = 3x.

Мы также знаем, что периметр треугольника равен 104, поэтому:

AB + BC + AC = 104, (3x + r) + (5y + r) + (3x) = 104, 6x + 5y + 2r = 104.

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. 6x + 5y + 2r = 104,
2. AC = 3x.

Теперь мы можем найти значения переменных x, y и r:

Из уравнения 2: AC = 3x => x = AC / 3. Из уравнения 1: 6x + 5y + 2r = 104. Подставим выражение для x: 6(AC / 3) + 5y + 2r = 104. Упростим: 2AC + 5y + 2r = 104. Теперь заменим AC на 3x: 2(3x) + 5y + 2r = 104. Упростим еще раз: 6x + 5y + 2r = 104.

Теперь у нас есть два уравнения:

1. 6x + 5y + 2r = 104,
2. x = AC / 3.

Мы не можем найти точные значения x, y и r, так как у нас есть всего два уравнения, а три неизвестных. Однако, мы можем выразить одну из переменных через остальные две и найти их отношение.

Давайте выразим x через y и r из уравнения 1:

6x = 104 - 5y - 2r, x = (104 - 5y - 2r) / 6.

Теперь подставим это выражение для x в уравнение 2:

(104 - 5y - 2r) / 6 = AC / 3.

Теперь, зная, что AC = 3x, подставим AC = 3[(104 - 5y - 2r) / 6]:

AC = (104 - 5y - 2r) / 2.

Таким образом, мы выразили длину стороны AC через y и r. Однако, чтобы решить задачу полностью и найти конкретные значения для сторон треугольника, нужны дополнительные условия или уравнения. В задаче не указаны дополнительные условия, поэтому, к сожалению, мы не можем найти конкретные значения сторон ABC и радиуса r.