Question

25 БАЛЛОВ Докажите, что n^3 + 2n делится на 3 пи любом натуральном n

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Докажем методом математической индукции

1) при n=1

n³+2n=1+2=3 делится на 3

2) предположим что n³+2n делится на 3 при n=k то есть k³+2k делится на 3

3) проверим для n=k+1

(k+1)³+2(k+1)=k³+3k²+3k+1+2k+2=(k³+2k)+3k²+3k+3 в полученном выражении каждое слагаемое делится на 3

из предположения что n³+2n делится на 3 при n=k ⇒ что n³+2n делится на 3 при n=k+1 ⇒ по методу математической индукции n³+2n делится на 3 при любом n∈N

Answer 2

Для того чтобы доказать, что выражение n^3 + 2n делится на 3 для любого натурального числа n, нужно использовать метод математической индукции.

Математическая индукция - это метод доказательства, состоящий из двух шагов:

1. Базисный шаг: Доказываем утверждение для базового случая, как правило, для наименьшего значения переменной.
2. Индукционный шаг: Предполагаем, что утверждение верно для некоторого значения переменной (предположение индукции) и доказываем, что тогда оно верно и для следующего значения переменной.

Шаг 1 (базисный шаг): Проверим утверждение для наименьшего значения n, т.е., n = 1.

n^3 + 2n = 1^3 + 2 * 1 = 1 + 2 = 3.

Таким образом, при n = 1, выражение n^3 + 2n делится на 3.

Шаг 2 (индукционный шаг): Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального числа k, т.е., k^3 + 2k делится на 3. Теперь докажем, что тогда оно верно и для k + 1.

Рассмотрим выражение для k + 1:

(k + 1)^3 + 2(k + 1)

Раскроем скобки:

(k^3 + 3k^2 + 3k + 1) + 2k + 2

Сгруппируем члены:

k^3 + 3k^2 + 5k + 3

Теперь воспользуемся предположением индукции: k^3 + 2k делится на 3. Значит, можем представить k^3 + 2k в виде 3m (где m - целое число):

k^3 + 2k = 3m

Тогда:

k^3 + 3k^2 + 5k + 3 = 3m + 3k^2 + 5k + 3

Теперь вынесем общий множитель 3:

k^3 + 3k^2 + 5k + 3 = 3(m + k^2 + 1)

Мы получили, что выражение k^3 + 3k^2 + 5k + 3 делится на 3. Значит, по индукции, утверждение верно для k + 1.

Таким образом, мы доказали, что выражение n^3 + 2n делится на 3 для любого натурального числа n, используя метод математической индукции.