Question

Розв'яжіть нерівність 4^x-16>6*2^x

Answer 1

Ответ:

(3; +∞)

Пошаговое объяснение:

2ˣ = t > 0

t² - 16 > 6t

t² - 6t - 16 > 0

D = 36 + 64 = 100

t₁ = (6 - 10)/2 = -2

t₂ = (6 + 10)/2 = 8

____(-2)__________(8)/_/_/_/_/_/_/_/_/_/

2ˣ > 8 = 2³

x > 3

Answer 2

Щоб розв'язати нерівність 4^x - 16 > 6 * 2^x, спростимо спочатку вираз:

4^x - 16 > 6 * 2^x

Помітимо, що 4^x можна записати як (2^2)^x, тобто 4^x = 2^(2x). Підставимо це у нерівність:

2^(2x) - 16 > 6 * 2^x

Тепер використаємо факторизацію:

2^x * 2^x - 2^4 > 6 * 2^x

2^x(2^x - 16) > 6 * 2^x

Тепер віднімемо 6 * 2^x з обох сторін:

2^x(2^x - 16 - 6) > 0

2^x(2^x - 22) > 0

Тепер розділимо на 2^x. Важливо зазначити, що 2^x не може бути нулем, оскільки 2^x завжди більше 0 незалежно від значення x:

2^x - 22 > 0

Тепер додамо 22 до обох сторін:

2^x > 22

На даному етапі ми не можемо знайти точне значення x, оскільки 2^x є неперервною функцією, яка збільшується зі збільшенням x. Тому нерівність справедлива для всіх x, для яких 2^x більше за 22.

Однак, якщо потрібно наблизити значення x, коли 2^x дорівнює приблизно 22, використовуйте логарифми:

2^x = 22 x = log(22) по основі 2

Застосовуючи калькулятор, отримаємо:

x ≈ 4.459

Отже, нерівність 4^x - 16 > 6 * 2^x виконується для всіх x > 4.459.