Question

Помогите решить пожалуйста Исследование функции с помощью производной f(x)=x^4-4x^2

Answer 1

Исследование функции f(x)=x^4-4x^2, её график и таблица точек для построения приведены в приложении.

Answer 2

Для исследования функции f(x) = x^4 - 4x^2 с помощью производной, следует выполнить следующие шаги:

Шаг 1: Найдите производную функции f(x).

Шаг 2: Найдите точки, в которых производная равна нулю или не существует. Эти точки могут быть критическими точками функции f(x).

Шаг 3: Определите интервалы, на которых производная положительна или отрицательна, чтобы найти интервалы возрастания и убывания функции.

Шаг 4: Найдите значения функции в критических точках и на концах интервалов, чтобы выяснить максимумы, минимумы или точки перегиба.

Шаг 1: Найдем производную функции f(x):

f'(x) = d/dx (x^4 - 4x^2) f'(x) = 4x^3 - 8x

Шаг 2: Найдем точки, в которых производная равна нулю:

Поставим f'(x) равной нулю и решим уравнение: 4x^3 - 8x = 0

Вынесем общий множитель: 4x(x^2 - 2) = 0

Таким образом, у нас есть три кандидата на критические точки: x = 0 и x = ±√2.

Шаг 3: Определим интервалы, на которых производная положительна или отрицательна:

Для этого построим таблицу знаков производной:

| x | -∞ | -√2 | 0 | √2 | +∞ | | f'(x)| - | + | 0 | - | + |

Шаг 4: Найдем значения функции в критических точках и на концах интервалов:

a) Критическая точка x = 0: f(0) = 0^4 - 4 * 0^2 = 0

b) Критическая точка x = √2: f(√2) = (√2)^4 - 4 * (√2)^2 = 2 - 8 = -6

c) Критическая точка x = -√2: f(-√2) = (-√2)^4 - 4 * (-√2)^2 = 2 - 8 = -6

Из таблицы знаков производной и значений функции в критических точках мы можем сделать выводы о поведении функции:

1. Функция возрастает на интервале (-∞, -√2) и на интервале (0, √2).
2. Функция убывает на интервале (-√2, 0) и на интервале (√2, +∞).
3. Функция имеет локальный минимум в точке x = 0.
4. Функция имеет точку перегиба в точке x = -√2 и x = √2.

Таким образом, исследование функции f(x) = x^4 - 4x^2 с помощью производной показывает, что у неё есть локальный минимум в точке x = 0 и точки перегиба в точках x = ±√2.