Question

Найти площадь, ограниченную линиями y^2=2x+1, x-y-1=0 Решение с помощью интегралов.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

y²=2x+1     2x=y²-1  |÷2       x=(y²-1)/2

x-y-1=0      x=y+1     ⇒

(y²-1)/2=y+1  |×2

y²-1=2y+2

y²-2y-3=0    D=16    √D=4

y₁=-1        y₂=3   ⇒

S=₋₁∫³(y+1-(y²-1)/2)dy=₋₁∫³((2y+2-y²+1)/2)dy=(-1/2)*₋₁∫³(y²-2y-3)dy=

(-1/2)*(y³/3-y²-3y)  ₋₁|³=(-1/2)*(3³/3-3²-3*3-((-1)³/3-(-1)²-3*(-1))=

=(-1/2)*(9-9-9+1/3+1-3)=(-1/2)*(-10²/₃)=(-1/2)*(-32/3)=16/3=5¹/₃=5,33.

Ответ: S=5,33 кв. ед.

Answer 2

Для нахождения площади, ограниченной двумя кривыми, необходимо найти точки их пересечения и затем использовать интеграл для вычисления площади между ними.

Давайте начнем с нахождения точек пересечения кривых y^2 = 2x + 1 и x - y - 1 = 0.

Сначала приравняем уравнения друг к другу:

2x + 1 = (x - 1)^2

Раскроем квадрат:

2x + 1 = x^2 - 2x + 1

Теперь приведем уравнение квадратного уравнения к стандартному виду:

x^2 - 4x = 0

Решим квадратное уравнение:

x = 0 или x = 4

Теперь найдем соответствующие значения y для каждого значения x, используя уравнение x - y - 1 = 0:

При x = 0:

0 - y - 1 = 0

y = -1

При x = 4:

4 - y - 1 = 0

y = 3

Таким образом, точки пересечения кривых - (0, -1) и (4, 3).

Теперь, чтобы найти площадь между кривыми, нужно найти определенный интеграл от разности кривых на отрезке [0, 4]:

Площадь = ∫[0, 4] (верхняя кривая - нижняя кривая) dx

Площадь = ∫[0, 4] ((√(2x + 1)) - (x - 1)) dx

Теперь проинтегрируем:

Площадь = ∫[0, 4] (√(2x + 1) - x + 1) dx

Площадь = [∫(√(2x + 1) dx) - ∫(x dx) + ∫(dx)] по отрезку [0, 4]

Площадь = [1/3 * (2x + 1)^(3/2) - 1/2 * x^2 + x] по отрезку [0, 4]

Теперь подставим верхний и нижний пределы интегрирования:

Площадь = [1/3 * (24 + 1)^(3/2) - 1/2 * 4^2 + 4] - [1/3 * (20 + 1)^(3/2) - 1/2 * 0^2 + 0]

Площадь = [1/3 * 9^(3/2) - 8 + 4] - [1/3 * 1^(3/2) - 0]

Площадь = [1/3 * 27 - 4] - [1/3 - 0]

Площадь = 9 - 4

Площадь = 5

Таким образом, площадь, ограниченная линиями y^2 = 2x + 1 и x - y - 1 = 0, равна 5 квадратным единицам.