Question

Найдите площадь фигуры ограниченной линиями y=4x-x^2 и y=x

Answer 1

Ответ: S=4,5 кв. ед.

Пошаговое объяснение:

y=4x-x²     y=x    S=?

4x-x²=x

x²-3x=0

x*(x-3)=0

x₁=0        x₂=3     ⇒

S=₀∫³(4x-x²-x)dx=₀∫³(3x-x²)dx=3x²/2-x³/3  ₀|³=3*3²/2-3³/3-0=

=(27/2)-(27/3)=13,5-9=4,5.

Answer 2

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми, нужно найти точки пересечения этих кривых и затем интегрировать разность между ними.

Сначала найдем точки пересечения кривых:

y = 4x - x^2 ... (1) y = x ... (2)

Чтобы найти точки пересечения, приравняем (1) и (2):

4x - x^2 = x

Теперь решим уравнение:

x^2 - 3x = 0

Факторизуем:

x(x - 3) = 0

Таким образом, у нас есть две точки пересечения: x = 0 и x = 3.

Теперь вычислим значения y для каждой из точек пересечения:

Для x = 0: y = 0 (из уравнения (2))

Для x = 3: y = 3 (из уравнения (2))

Теперь, чтобы найти площадь между кривыми, нужно проинтегрировать разность между y=4x-x^2 и y=x от x=0 до x=3:

Площадь = ∫(4x - x^2 - x) dx, от x=0 до x=3

Выполним интегрирование:

Площадь = ∫(3x - x^2) dx, от x=0 до x=3

Площадь = [3/2 * x^2 - (1/3) * x^3] от x=0 до x=3

Площадь = [3/2 * (3)^2 - (1/3) * (3)^3] - [3/2 * (0)^2 - (1/3) * (0)^3]

Площадь = [3/2 * 9 - 1/3 * 27] - [0]

Площадь = [27/2 - 9] - [0]

Площадь = 9/2

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной кривыми y=4x-x^2 и y=x, равна 4.5 квадратных единиц.