Question

Решите неравенство log|x-2|(3-|x|)<=1

Answer 1

Ответ:

$x \in (-3;-0.5]\cup (1;2)\cup (2;2.5]$

Пошаговое объяснение:

$log_{ |x - 2| }(3 - |x| ) \leqslant 1 \\ ( |x - 2| - 1)(3 - |x| - |x - 2| ) \leqslant 0 \\ (x - 3)(x - 1)(x + 0.5)(x - 2.5) \geqslant 0$

и используя метод интервалов + ОДЗ получим ответ.

Пояснения:

1) $3- |x|-|x-2|$ : график "корыто", ветви вниз, тангенс наклона по модулю равен 2, основание $y=1$, абсциссы точек углов $x=\{0; 2\}$, поэтому пересечения Ox при $x = \{-0.5;2.5\}$, поэтому:$3-|x|-|x-2|\vee 0 \Leftrightarrow -(x+0.5)(x-2.5)\vee 0$

2) ОДЗ:

$\left\{\begin{matrix}|x-2|>0\\ |x-2|\neq 1\\ 3-|x|>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x > -3\\ x \neq 1\\ x \neq 2\\ x < 3\end{matrix}\right. \Leftrightarrow x\in (-3;1)\cup (1;2)\cup (2;3)$

3) Метод интервалов: см. прикрепленный файл

Answer 2

Для решения данного неравенства, нужно разбить его на несколько случаев, учитывая различные интервалы значений переменной x.

1. Когда x ≥ 2: В этом случае |x - 2| = x - 2 и |x| = x, поскольку x уже положительное. Заменим значения и решим неравенство: log(x - 2) * (3 - x) ≤ 1

2. Когда x < 2 и x ≥ 0: В этом случае |x - 2| = 2 - x и |x| = x. Заменим значения и решим неравенство: log(2 - x) * (3 - x) ≤ 1

3. Когда x < 0: В этом случае |x - 2| = 2 - x и |x| = -x. Заменим значения и решим неравенство: log(2 - x) * (3 + x) ≤ 1

Теперь решим каждое из полученных неравенств.

1. Когда x ≥ 2: log(x - 2) * (3 - x) ≤ 1 Учитывая, что логарифм от отрицательного числа не существует, ограничимся только положительным аргументом логарифма: x - 2 > 0 (чтобы избежать отрицательного аргумента логарифма) => x > 2

   Теперь решим неравенство: log(x - 2) * (3 - x) ≤ 1 log(x - 2) ≤ 1/(3 - x) Поскольку правая сторона положительная, перепишем логарифм как экспоненту: x - 2 ≤ e^(1/(3 - x)) x ≤ e^(1/(3 - x)) + 2

2. Когда x < 2 и x ≥ 0: log(2 - x) * (3 - x) ≤ 1 Учитывая, что логарифм от отрицательного числа не существует, ограничимся только положительным аргументом логарифма: 2 - x > 0 (чтобы избежать отрицательного аргумента логарифма) => x < 2

   Теперь решим неравенство: log(2 - x) * (3 - x) ≤ 1 log(2 - x) ≤ 1/(3 - x) Поскольку правая сторона положительная, перепишем логарифм как экспоненту: 2 - x ≤ e^(1/(3 - x)) x ≥ 2 - e^(1/(3 - x))

3. Когда x < 0: log(2 - x) * (3 + x) ≤ 1 Учитывая, что логарифм от отрицательного числа не существует, ограничимся только положительным аргументом логарифма: 2 - x > 0 (чтобы избежать отрицательного аргумента логарифма) => x < 2

   Теперь решим неравенство: log(2 - x) * (3 + x) ≤ 1 log(2 - x) ≤ 1/(3 + x) Поскольку правая сторона положительная, перепишем логарифм как экспоненту: 2 - x ≤ e^(1/(3 + x)) x ≥ 2 - e^(1/(3 + x))

Таким образом, мы получили три интервала, которые удовлетворяют исходному неравенству:

1. x > 2
2. 2 - e^(1/(3 - x)) ≤ x < 2
3. 2 - e^(1/(3 + x)) ≤ x < 0