Question

Найти интеграл sin⁡(x^4+2)x³dx

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Возьмем дифференциал от      ( х⁴+2 )

Это будет 4х³*дх, значит, домножая и деля на 4 подынтегральное выражение получим ∫(4х³)(4(sin(x⁴+2))дх=(1/4)∫(sint)дt= -0,25*cost+с=

-0,25*cos(х⁴+2)+с, где с - const

Пояснение. По ходу решения ввел замену переменной

t= (х⁴+2), а потом опять вернулся к старой переменной х.

ОТВЕТ -0,25*cos(х⁴+2)+с, где с - const

Answer 3

Для нахождения интеграла ∫sin(x^4 + 2) * x^3 dx, воспользуемся методом интегрирования по частям (integration by parts). Этот метод представляет собой обобщение правила дифференцирования произведения функций.

Правило интегрирования по частям: ∫u dv = uv - ∫v du, где u и v - это дифференцируемые функции.

Выберем u и dv таким образом: u = x^3 => du = 3x^2 dx dv = sin(x^4 + 2) dx => v = ∫sin(x^4 + 2) dx

Теперь найдем v: Для ∫sin(x^4 + 2) dx воспользуемся заменой переменной: Пусть t = x^4 + 2, тогда dt = 4x^3 dx, и dx = dt / (4x^3). Заменяем в исходном интеграле: ∫sin(x^4 + 2) dx = ∫sin(t) * (dt / (4x^3)) = (1/4) * ∫(sin(t) / x^3) dt

Теперь найдем этот новый интеграл: ∫(sin(t) / x^3) dt

Также этот интеграл не может быть решен элементарными функциями. Поэтому давайте оставим его в таком виде.

Теперь применим метод интегрирования по частям: ∫sin(x^4 + 2) * x^3 dx = x^3 * (1/4) * ∫(sin(t) / x^3) dt = (1/4) * ∫sin(t) dt = (1/4) * (-cos(t)) + C

Вернемся к исходной переменной: (1/4) * (-cos(t)) + C = (1/4) * (-cos(x^4 + 2)) + C

Таким образом, окончательный ответ: ∫sin(x^4 + 2) * x^3 dx = (1/4) * (-cos(x^4 + 2)) + C, где C - произвольная константа интегрирования.