Question

Решите однородное дифференциальное уравнение x*y*y' = x^2-y^2

Answer 1

Посмотрите предложенное решение.

Answer 2

Для решения данного однородного дифференциального уравнения первым шагом является замена переменной. Пусть z = y^2, тогда y' = dz/dx.

Теперь преобразуем уравнение с использованием новой переменной:

x * y * y' = x^2 - y^2 x * dz/dx = x^2 - z

Теперь уравнение имеет вид:

x * dz/dx = x^2 - z

Далее разделим на x:

dz/dx = x - z/x

Теперь дифференциальное уравнение стало раздельным, и мы можем проинтегрировать его:

∫(1/(x - z/x)) dz = ∫dx

Выполним интегрирование:

∫(x/(x^2 - z)) dz = ∫dx

Для интегрирования слева выполним замену u = x^2 - z, тогда du = -dz:

-∫(1/u) du = ∫dx

-ln|u| + C1 = x + C2

где C1 и C2 - произвольные постоянные интегрирования.

Вернемся к исходной переменной z:

-ln|x^2 - z| + C1 = x + C2

Теперь найдем константу C1:

C1 = x + C2 + ln|x^2 - z|

Переименуем C2 + ln|x^2 - z| в еще одну произвольную константу C:

C1 = x + C

Таким образом, общее решение уравнения будет выглядеть:

-ln|x^2 - y^2| = x + C

При желании, можно решить уравнение относительно y:

|x^2 - y^2| = e^(C-x)

Теперь учтем, что e^(C-x) всегда положительное значение, поэтому можно убрать модуль:

x^2 - y^2 = ±e^(C-x)

Теперь рассмотрим два случая:

1. x^2 - y^2 = e^(C-x)

2. x^2 - y^2 = -e^(C-x)

Для каждого из этих уравнений можно решить y относительно x, если уточнить начальные условия или дополнительные ограничения.