Question

В треугольнике ABC медиана AM перпендикулярна биссектрисе BN . Найдите BC, если AB=1,5

Answer 1

Ответ:

ВС = 3

Пошаговое объяснение:

Дано:

АМ - медиана

BN - биссектриса

АВ = 1,5

BN ⊥ AM

Найти: ВС - ?

Решение:

Рассмотрим треугольники AOB и MOB

ОВ - общая сторона

∠ АВО = ∠ MBO (так как BN - биссектриса)

∠ АОВ = ∠ MOB = 90°

Таким образом треугольники равны по 2 признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам)

Из этого следует, что АВ = ВМ = 1,5

А так как АМ - медиана, то ВС = 2*ВМ = 1,5*2 = 3

Answer 2

Давайте обозначим точки нашего треугольника следующим образом:

A - вершина треугольника; B - вторая вершина треугольника; C - третья вершина треугольника; M - середина стороны BC (точка пересечения медианы AM и BC); N - точка пересечения биссектрисы угла ABC и AC.

У нас уже есть информация, что AB = 1.5. Мы хотим найти BC.

Так как AM - медиана, то она делит сторону BC пополам, а значит, BM = MC.

Также, так как BM = MC и медиана перпендикулярна биссектрисе, то угол BMC прямой.

Теперь давайте рассмотрим треугольник ABC. Посмотрим на точку N и проведем перпендикуляр к BC из точки N. Этот перпендикуляр пересечет сторону AB в точке P, а сторону AC в точке Q. Поскольку BM = MC и перпендикуляр из N к BC делит его на две равные части, точка N - это точка пересечения медианы и высоты треугольника ABC.

Теперь у нас есть два прямоугольных треугольника: BMP и CNQ.

Давайте рассмотрим треугольник BMP:

BM = MC (по свойствам медианы); BP = 1/2 AB = 1/2 * 1.5 = 0.75 (половина стороны треугольника ABC).

Теперь рассмотрим треугольник CNQ:

CQ = QA (по свойствам биссектрисы); CQ + QA = AC = 1 (сумма двух частей основания треугольника ABC).

Поскольку CNQ - прямоугольный треугольник, применяем теорему Пифагора:

CQ^2 + QN^2 = CN^2.

Так как CN = BC/2 (по свойствам медианы) и QN = BP (по свойствам перпендикуляра):

(CQ + BP)^2 + BP^2 = (BC/2)^2.

Подставим известные значения:

(1 - 0.75)^2 + 0.75^2 = (BC/2)^2.

(0.25)^2 + 0.5625 = (BC/2)^2.

0.0625 + 0.5625 = (BC/2)^2.

0.625 = (BC/2)^2.

Теперь найдем BC:

(BC/2)^2 = 0.625.

BC/2 = √0.625.

BC/2 = 0.7906.

BC = 0.7906 * 2.

BC ≈ 1.5812.

Ответ: BC ≈ 1.5812.