Question

СРОЧНО НАДО ОТВЕТ С КРАТКИМ ОБЪЯСНЕНИЕМ 1)найдите область значений функции y=3sin2x+4 2)найдите точки экстремума функции y=x^3-6x^2​

Answer 1

1)-1≤sinх≤1

-3≤3sinх≤3

-3+4≤3sinх+4≤3+4

     1 ≤3sinх+4≤7

2) найдем первую производную. 3х²-12х

Приравняем ее к нулю, найдем критические точки.

3х(х-4). откуда х=4, х=0

Разобъем область определения на интервалы (-∞;0);(0;4);(4;+∞), нанеся эти точки на чсловую ось и установив знаки, которые принимает производная, переходя через эти критич. точки, с помощью метода интервалов.

При переходе через точку о производная меняет знак с плюса на минус,  поэтому точка х=0 - точка максимума, а при переходе через точку х=4 она меняет знак с минуса на плюс,

точка х=4- точка  минимума. Точки минимума и максимума - точки экстремума.

Answer 2

1. Для функции y = 3sin(2x) + 4 областью значений будет множество всех возможных значений y при заданных значениях x.

Так как синусная функция ограничена в интервале [-1, 1], то максимальное значение для 3sin(2x) будет 3, а минимальное значение будет -3. Прибавление константы 4 сдвигает весь график функции вверх на 4 единицы.

Таким образом, областью значений функции y = 3sin(2x) + 4 будет интервал [1, 7].

2. Для функции y = x^3 - 6x^2 необходимо найти точки экстремума. Для этого найдем производную функции и приравняем ее к нулю:

y' = 3x^2 - 12x = 0

Факторизуя это уравнение, получаем:

3x(x - 4) = 0

Таким образом, получаем две точки экстремума: x = 0 и x = 4.

Для определения характера каждой точки экстремума (минимум или максимум), можно использовать вторую производную тест или анализ знаков производной в окрестности точек. Если y'' > 0, то точка экстремума будет минимумом, а если y'' < 0, то точка экстремума будет максимумом.

Вычисляя вторую производную y'' = 6x - 12, получаем:

y''(0) = 6(0) - 12 = -12 < 0

y''(4) = 6(4) - 12 = 12 > 0

Следовательно, точка экстремума x = 0 является максимумом, а точка экстремума x = 4 является минимумом.