Question

Найдите, какой наибольший радиус может иметь шар, касающийся основания и боковых рёбер правильной треугольной пирамиды, объём которой равен 432✓3 Пожалуйста помогите

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для того чтобы найти наибольший радиус шара, который может касаться основания и боковых рёбер правильной треугольной пирамиды, мы можем использовать следующий подход.

Пусть r - радиус шара, описанного вокруг пирамиды. Также пусть s - длина ребра пирамиды и h - высота пирамиды.

Объём правильной треугольной пирамиды выражается следующей формулой: V = (1/3) * A_base * h, где A_base - площадь основания пирамиды, h - высота пирамиды.

Для правильной треугольной пирамиды площадь основания A_base выражается следующей формулой: A_base = (sqrt(3) / 4) * s^2, где s - длина ребра пирамиды.

Теперь у нас есть два уравнения:

1. V = 432 * sqrt(3),
2. A_base = (sqrt(3) / 4) * s^2.

Мы можем использовать эти уравнения, чтобы найти s и далее найти радиус r. Начнем с выражения для A_base:

A_base = (sqrt(3) / 4) * s^2.

Решим его относительно s:

s^2 = (4 * A_base) / sqrt(3), s = sqrt((4 * A_base) / sqrt(3)).

Теперь найдем высоту пирамиды h, зная объем V:

V = (1/3) * A_base * h, 432 * sqrt(3) = (1/3) * (sqrt(3) / 4) * s^2 * h.

Подставим значение s:

432 * sqrt(3) = (1/3) * (sqrt(3) / 4) * ((4 * A_base) / sqrt(3)) * h, 432 * sqrt(3) = (1/3) * A_base * h.

Отсюда:

h = (432 * sqrt(3)) / ((1/3) * A_base), h = 1296 / A_base.

Теперь у нас есть значения для s и h. Мы можем найти радиус r с помощью теоремы Пифагора для треугольника, образованного половиной стороны основания, высотой и радиусом шара:

r^2 = (s/2)^2 + h^2, r^2 = ((sqrt((4 * A_base) / sqrt(3))) / 2)^2 + (1296 / A_base)^2.

Теперь подставим значение A_base:

r^2 = ((sqrt((4 * ((sqrt(3) / 4) * s^2)) / sqrt(3))) / 2)^2 + (1296 / ((sqrt(3) / 4) * s^2))^2, r^2 = ((sqrt((4 * ((sqrt(3) / 4) * (sqrt((4 * A_base) / sqrt(3)))^2)) / sqrt(3))) / 2)^2 + (1296 / ((sqrt(3) / 4) * (sqrt((4 * A_base) / sqrt(3)))^2))^2.

Упростим:

r^2 = ((sqrt((4 * (A_base) * 4)) / sqrt(3))) / 2)^2 + (1296 / ((A_base / sqrt(3)))^2, r^2 = ((sqrt((16 * A_base)) / sqrt(3))) / 2)^2 + (1296 / ((A_base / sqrt(3)))^2, r^2 = ((4 * sqrt(A_base)) / sqrt(3)) / 2)^2 + (1296 * (sqrt(3) / A_base))^2, r^2 = ((2 * sqrt(A_base)) / sqrt(3))^2 + (1296 * sqrt(3))^2 / A_base^2.

Теперь, подставим значение A_base:

r^2 = ((2 * sqrt(432 * sqrt(3))) / sqrt(3))^2 + (1296 * sqrt(3))^2 / (432 * sqrt(3))^2, r^2 = (2 * sqrt(432))^2 + (1296 * sqrt(3))^2 / 432^2.

Теперь вычислим r:

r^2 = 1152 + (1296 * sqrt(3))^2 / 432^2, r^2 = 1152 + 1296^2 * 3 / 432^2, r^2 = 1152 + 1296^2 * 3 / 432^2, r^2 = 1152 + 3, r^2 = 1155, r = sqrt(1155).

Итак, наибольший радиус шара, который может касаться основания и боковых рёбер правильной треугольной пирамиды с объемом 432 * sqrt(3) равен sqrt(1155) или примерно 33.94 (округлено до сотых).