Question

У пятизначного числа К,которое не оканчивается цифрой 0, записали все цифры в обратном порядке и получили число L.Докажите,что разность чисел K и L делится на 11.

Answer 1

$\overline{abcde}-\overline{edcba}=10000a+1000b+100c+10d+e-10000e-1000d-100c-\\-10b-a=9999a+990b-990d-9999e=11(909a+90b-90d-909e)$

Один из множителей делится на 11, значит, всё произведение делится на 11, то есть и разность этих чисел также делится на 11, что и требовалось доказать.

Answer 2

K = "abcde" = 10000a+1000b+100c+10d+e =

L = "dcba" = 10000e+1000d+100c+10b+1a

K - L = a(10000-1) + b(1000-10) + c(100-100) + d(10-1000) + e(1-10000) = 9999a + 990b - 990d - 9999e = 11(909a + 90b - 90c - 909e)

Так как 11 является множителем, тт все число делится на 11

Answer 3

Давайте докажем данное утверждение.

Пусть пятизначное число K записано в виде abcde, где a, b, c, d и e - цифры числа K, причем a - первая цифра слева (наибольшая), e - последняя цифра справа (наименьшая).

Тогда пятизначное число L, записанное в обратном порядке, будет равно edcba.

Чтобы доказать, что разность чисел K и L делится на 11, нам необходимо доказать, что (K - L) делится на 11, или что K ≡ L (mod 11).

Запишем числа K и L:

K = 10000a + 1000b + 100c + 10d + e L = 10000e + 1000d + 100c + 10b + a

Теперь найдем их разность:

K - L = (10000a + 1000b + 100c + 10d + e) - (10000e + 1000d + 100c + 10b + a)

Упростим:

K - L = 10000a + 1000b + 100c + 10d + e - 10000e - 1000d - 100c - 10b - a

Теперь вынесем общие слагаемые:

K - L = (10000a - a) + (1000b - 10b) + (100c - 100c) + (10d - 1000d) + (e - 10000e)

Упростим каждое слагаемое:

K - L = 9999a + 990b - 990d - 9999e

Теперь заметим, что каждое слагаемое делится на 9 (9999 = 9 * 1111 и 990 = 9 * 110), следовательно, разность K - L делится на 9.

Теперь осталось проверить, делится ли разность K - L на 11.

Мы знаем, что 9 * 11 = 99, что означает, что любое число, которое делится на 9 и 11, также делится на 99.

Таким образом, разность K - L делится и на 9, и на 11, и, следовательно, она делится на 99.

Мы доказали, что K - L делится на 99 (или 11 * 9). Так как 11 и 9 - взаимно простые числа, то K - L также делится на 11.

Таким образом, разность чисел K и L всегда делится на 11 для любого пятизначного числа K, которое не оканчивается на 0, когда его цифры записаны в обратном порядке.