Question

Помогите пожалуйста решить предел lim стремится к 0 (1+tg^2(√x))в степени 1/2x

Answer 1

Если подставить x = 0 то неопределенность $\left\{1^{\infty}\right\}$, следовательно, применим второй замечательный предел.

$\displaystyle \lim_{x \to 0}\left(1+{\rm tg}^2\sqrt{x}\right)^{\frac{1}{2x}}=\lim_{x \to 0}\left(1+{\rm tg}^2\sqrt{x}\, \right)^{\frac{1}{2x}\cdot {\rm tg}^2\sqrt{x}\cdot \frac{1}{{\rm tg}^2\sqrt{x}}}=\\ \\ \\ =e^{\lim_{x \to 0}\frac{{\rm tg}^2\sqrt{x}}{2x}}=e^{\lim_{x \to 0}\frac{(\sqrt{x})^2}{2x}}=e^{\lim_{x \to 0}\frac{x}{2x}}=e^{\frac{1}{2}}$

Answer 2

Для решения этого предела мы можем воспользоваться алгебраическими преобразованиями и известными пределами тригонометрических функций.

Итак, давайте преобразуем выражение:

lim(x → 0) [(1 + tan^2(√x))^(1/2x)]

Возьмем натуральный логарифм от обеих сторон предела, чтобы применить свойство логарифма:

ln[lim(x → 0) [(1 + tan^2(√x))^(1/2x)]].

Затем воспользуемся свойствами логарифма и степени для упрощения выражения:

lim(x → 0) [ln(1 + tan^2(√x)) / (2√x)].

Теперь мы можем заметить, что в пределе, когда x стремится к 0, тангенс и его квадрат стремятся к нулю. Мы также можем заметить, что √x также стремится к 0. Таким образом, мы можем применить соответствующие пределы:

lim(x → 0) [ln(1 + 0) / (2 * 0)].

Здесь у нас возникает неопределенность вида 0/0, что говорит нам о необходимости применить правило Лопиталя для вычисления предела.

Применяя правило Лопиталя, мы дифференцируем числитель и знаменатель по переменной x:

lim(x → 0) [(2 * tan(√x) * sec^2(√x)) / (2 * √x)].

Теперь мы видим, что 2 и 2 сокращаются, и у нас остается:

lim(x → 0) [tan(√x) * sec^2(√x) / √x].

Мы замечаем, что √x стремится к 0, поэтому мы можем использовать пределы тригонометрических функций:

lim(x → 0) [tan(√x) * sec^2(√x) / √x] = 0 * 1^2 / 0 = 0.

Таким образом, предел выражения равен 0.