Question

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=1/x, x=1, x=2, y=0.

Answer 1

Ответ:

решение представлено на фото

Answer 2

$y=\frac{1}{x}\; \; ,\; \; x=1\; ,\; x=2\; \; ,\; \; y=0\\\\S=\int \limits _{a}^{b}\, f(x)\, dx=\int\limits^2_1\, \frac{1}{x}\, dx=ln|x|\, \Big |_1^2=ln2-\underbrace {ln1}_{0}=ln2$

Answer 3

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной данными линиями, нужно разбить эту фигуру на более простые геометрические фигуры и затем вычислить площадь каждой из них.

Фигура ограничена линиями y = 1/x, x = 1, x = 2 и y = 0. Давайте вначале построим график этих функций, чтобы лучше представить себе форму фигуры:

1. Функция y = 1/x представляет гиперболу симметричную относительно прямой y = x.
2. Прямая x = 1 - это вертикальная прямая, проходящая через точку (1,0).
3. Прямая x = 2 - это также вертикальная прямая, проходящая через точку (2,0).
4. Прямая y = 0 - это горизонтальная прямая, проходящая через начало координат.

Обратите внимание, что фигура ограничена в точке (1, 1) и (2, 0). Эти точки являются пересечениями функций y = 1/x и x = 1 (точка (1, 1)) и функций y = 1/x и x = 2 (точка (2, 0)).

По графику видно, что фигура представляет собой треугольник и криволинейную трапецию.

1. Треугольник: База треугольника - это отрезок между точками (1, 0) и (1, 1) (проекция на ось x). Высота треугольника - это расстояние между прямой y = 0 и кривой y = 1/x в точке x = 1.

Площадь треугольника = (1/2) * base * height

base = 1 - 1 = 0 (так как x1 = x2 = 1) height = 1 - 0 = 1 (подставим x = 1 в y = 1/x)

Площадь треугольника = (1/2) * 0 * 1 = 0

2. Криволинейная трапеция: Она ограничена прямыми x = 1, x = 2, y = 0 и кривой y = 1/x.

Площадь криволинейной трапеции можно вычислить как определенный интеграл от x = 1 до x = 2 функции (1/x) dx:

Площадь криволинейной трапеции = ∫[1, 2] (1/x) dx

Вычислим интеграл: ∫(1/x) dx = ln|x| + C

Теперь вычислим определенный интеграл: [ln|x|]_[1, 2] = ln|2| - ln|1| = ln(2)

Площадь криволинейной трапеции = ln(2)

Теперь, чтобы получить общую площадь фигуры, сложим площади треугольника и криволинейной трапеции:

Общая площадь = Площадь треугольника + Площадь криволинейной трапеции Общая площадь = 0 + ln(2) ≈ 0.693

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = 1/x, x = 1, x = 2 и y = 0, примерно равна 0.693 (округленно до трех знаков после запятой).